Трактат об электричестве и магнетизме

Ниже мы покажем, что если мы нашли решение , удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.

Функция Грина

98. Пусть замкнутая поверхность s находится под нулевым потенциалом. Пусть P и Q - две точки с положительной стороны от поверхности s (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) и пусть в точке P находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке Q состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке P, другая - обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности s зарядом в P. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через G_pq.

Функция Грина зависит от положения двух точек P и Q; вид функции зависит от формы поверхности s. Она была рассчитана для сферической поверхности и ещё для нескольких других случаев. Функция Грина даёт потенциал в точке Q, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности s единичным зарядом в точке P.

Фактический потенциал в точке Q, создаваемый зарядом в точке P и наводимыми им зарядами на s, равен 1/r_pq+G_pq, где r_pq– расстояние от P до Q.

На поверхности s и во всех точках по отрицательную сторону от s потенциал равен нулю, так что

G

_pa

=

– (1/r

_pa

)

,

(1)

где индекс a показывает, что вместо точки Q взята точка A на поверхности s.

Если обозначить через _pa' поверхностную плотность в точке A' на поверхности s, то, поскольку G_pq является потенциалом, создаваемым в точке Q поверхностным распределением,

G

_pq

=

(

_pa'

/r

_qa'

)

ds'

,

(2)

где ds' -элемент поверхности s у точки A', и интегрирование производится по всей поверхности s.

Если бы единичный заряд был расположен в точке Q, то, согласно (1), мы имели бы

(1/r

_pa'

)

=-

G

_pa'

(3)

=-

(

_qa

/r

_aa'

)

ds

,

(4)

где _qa– плотность в точке A наводимая единичным зарядом в Q, ds - элемент поверхности, а r_aa'– расстояние между точками A и A'. Подставляя это значение 1/r_aa' в выражение для G_pq, получим

G

_pq

=-

_qaqa'

r_aa'

ds

ds'

.

(5)

Поскольку это выражение не меняется от перестановки индексов q и p, мы заключаем, что

G

_pq

=

G

_qp

.

(6)

К этому результату мы пришли ещё в п. 86, но теперь мы видим, что он выводится математически методом, позволяющим рассчитать функцию Грина.

Предположим, что у нас имеется произвольное распределение электричества, и поместим в поле точечный единичный заряд. Пусть поверхность нулевого потенциала полностью отделяет эту точку от имеющегося распределения заряда. Тогда, приняв эту поверхность за поверхность s, а точку - за точку P, получим, что функция Грина для любой точки с той же стороны поверхности, что и P, будет совпадать с потенциалом распределения электричества, существующего по другую сторону поверхности. Таким способом можно построить сколько угодно примеров, позволяющих найти функцию Грина для частных случаев расположения точки P. Значительно труднее найти вид функции при заданной поверхности s и при произвольном положении точки P, хотя, как мы показали, математически это возможно.

Предположим, что эта задача решена, и что точка P находится внутри поверхности. Тогда во всех точках вне поверхности потенциал поверхностного распределения равен и противоположен по знаку потенциалу точки P. Таким образом, поверхностное распределение центробарично ⁴ и его действие во всех внешних точках эквивалентно действию единичного положительного заряда в точке P.

⁴ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 526.

99 а. Если положить в Теореме Грина =, то мы получим

d

d

ds

–

^2

d

=

^2

d

.

(16)

Если - потенциал распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью и на проводниках с поверхностями s₁ s₂ и т. д., имеющих потенциалы ₁, ₂ и т. д., с поверхностной плотностью ₁, ₂ и т. д., то

^2

=

4

,

(17)

d

d

=

– 4

(18)

(d направлено наружу от проводника) и

d

d₁

ds

₁

=

– 4e

₁

,

(19)

где e₁– заряд поверхности s₁.

Поделив (16) на -8 получим

1/2 (

₁

e

₁

+

₂

e

₂

+

…)

+ 1/2

dx

dy

dz

=

=

1

8

d

dx

^2

+

d

dy

^2

+

d

dz

^2

dx

dy

dz

.

(20)

Первый член слева представляет собой электрическую энергию системы, обусловленную поверхностными распределениями, а второй - энергию, обусловленную объёмным распределением электричества в поле, если таковое распределение имеется.

Таким образом, правая часть уравнения выражает полную электрическую энергию системы при заданном потенциале как функции координат.

Поскольку мы часто будем пользоваться этим объёмным интегралом, мы введём для него специальное обозначение W так что

W

=

1

8

d

dx

^2

+

d

dy

^2

+

d