Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dz
101 а. В нашем доказательстве этих теорем мы до сих пор ограничивались той теорией электричества, которая считает свойства электрических систем зависящими от формы и относительного расположения проводников и их зарядов, но никак не учитывает природы диэлектрической среды, находящейся между проводниками.
Согласно этой теории, существует, например, неизменное соотношение между поверхностной плотностью на проводнике и электродвижущей напряжённостью вне проводника у самой поверхности, даваемое законом Кулона: R=4.
Но это верно только для эталонной среды, за которую можно принять воздух. В других средах соотношение
Для полного описания этого явления мы нашли необходимым рассмотреть две векторные величины, соотношение между которыми в разных средах различно. Одна - это электродвижущая напряжённость, другая - электрическое смещение. Электродвижущая напряжённость связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряжённостью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор ещё полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.
101 б. Электродвижущая напряжённость - вектор, определённый в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда e. Её составляющие мы обозначим через P, Q, R, а сам вектор - через E.
В электростатике криволинейный интеграл от E всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, E является пространственной вариацией потенциала. Таким образом, P=-d/dx, Q=-d/dy, R=-d/dz, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, E=-.
101 в. Составляющая электрического смещения в каком-либо направлении определена в п. 60 как отношение количества электричества, прошедшего через небольшую площадку A плоскость которой перпендикулярна рассматриваемому направлению, к величине площадки A. Мы обозначим прямоугольные составляющие электрического смещения буквами f, g, h, а сам вектор - буквой D.
Объёмная плотность в каждой точке определяется уравнением
=
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
,
или в Кватернионных обозначениях =-S.D.
Поверхностная плотность в любой точке заряженной поверхности определяется соотношением
=
lf
+
mg
+
nh
+
l'f'
+
m'g'
+
n'h'
,
где f, g, h, - составляющие смещения на одной стороне поверхности, а l, m, n - направляющие косинусы нормали к поверхности в эту сторону; соответственно f', g', h' и l', m', n' - составляющие смещения и направляющие косинусы нормали для другой стороны.
В Кватернионных обозначениях это уравнение примет вид
=
– [
S.UD
+
S.U'D'
],
где U, U', -единичные нормали с обеих сторон поверхности, a S указывает на то, что берётся скалярная часть произведения.
Для поверхности проводника, обозначая через v внешнюю нормаль и учитывая, что f', g', h' и D' равны нулю, это уравнение сводится к виду
=
lf
+
mg
+
nh
=
– S.UD
.
Таким образом, полный заряд проводника равен
=
(
lf
+
mg
+
nh
)
ds
=
–
S.UD
ds
.
101 г. Как показано в п. 84, электрическая энергия системы равна полусумме произведений зарядов на соответствующие потенциалы. Обозначая её через V получим
W
=
1
2
(e)
=
1
2
dx
dy
dz
+
1
2
ds
=
=
1
2
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
dx
dy
dz
+
+
1
2
(
lf
+
mg
+
nh
)
ds
,
где объёмный интеграл берётся по всему электрическому полю, а поверхностный - по поверхностям проводников.
Полагая в Теореме III, п. 21, X=f, Y=g, Z=h, получим
(
lf
+
mg
+
nh
)
ds
=-
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
dx
dy
dz
–
–
f
d
dx
+
g
d
dy
+
h
d
dz
dx
dy
dz
,
где l, m, n - направляющие косинусы нормали к поверхности в сторону поля.
Подставляя это значение поверхностного интеграла в W получим
W
=-
1
2
f
d
dx
+
g
d
dy
+
h
d
dz
dx
dy
dz
,
или
W
=
1
2
(
fP
+
gQ
+
hR
)
dx
dy
dz
.
101 д. Теперь перейдём к соотношению между D и E. Единица заряда обычно определяется из опытов в воздухе. Из опытов Больцмана мы знаем теперь, что диэлектрическая постоянная для воздуха несколько больше, чем для вакуума, и что она зависит от плотности воздуха. Поэтому, строго говоря, подобно тому как значения коэффициентов преломления в воздухе нуждаются в поправке, так и все измерения электрических величин следует скорректировать, сведя их либо к воздуху при нормальной температуре и нормальном давлении, либо, что с научной точки зрения более предпочтительно, к вакууму. Но в обоих случаях поправки столь малы, что обнаруживаются лишь при чрезвычайно точных измерениях.
В эталонной среде 4D=E, т.е. 4f=P, 4g=Q, 4h=R.
В изотропной среде с диэлектрической постоянной K
4D
=
KE
,
4f
=
KP
,
4g
=
KQ
,
4h
=
KQ
.
Однако есть некоторые среды, из которых наиболее исследовано стекло, в которых соотношение между D и E более сложное и содержит производные по времени от одной или от обеих этих величин, так что оно имеет вид