Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Полагая теперь, что t=t- для всех t<tk, получаем соотношение
(t)
=
(t
)
+
t
=
+
t
,
(7.122)
связывающее между собой значения функции , определённые в областях R и R. Таким образом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шрёдингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7.120) и (7.122):
|1|
t
=
1
h
|
H
k
|
,
(7.123)
что
h
i
t
=
H
.
Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т.е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода |1| с точностью до величин первого порядка по , когда все моменты, предшествующие моменту t, сдвинуты на величину t=-, и записать эти изменения как |H(t)|.
Глава 8
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Задача о гармоническом осцилляторе — это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить её, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно
K(x
b
,T;x
a
,0)
=
m
2ih sin T
1/2
x
xexp
im
2h sin T
[x
2
a
+x
2
b
)
cos T
–
2x
a
x
b
]
.
(8.1)
Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить — точно или приближённо — все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займёмся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы CO2. Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведённое на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.
В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твёрдого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.
В качестве ещё одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объёме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля
с определёнными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задаёт квантовый осциллятор.§ 1. Простой гармонический осциллятор
Решение уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнём наше рассмотрение с уравнения Шрёдингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде
L
=
m
2
(x^2-^2x^2)
.
(8.2)
Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как
H
=
p^2
2m
+
m
2
^2x^2
,
(8.3)
и можно написать волновое уравнение
–
h
i
t
=
H
=
p^2
2m
+
m
2
^2x^2
.
(8.4)
Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определёнными энергиями En. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна exp(iEnt/h).
Вспомнив, что оператор импульса p соответствует дифференцированию по x (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шрёдингера для пространственной части волновой функции в виде
H
n
=
h^2
2m
^2n
x^2
+
m^2x^2
2
n
=
E
n
n
.
(8.5)
Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны
E
n
=
h
n+
1
2
,
(8.6)
где n принимает целые значения 0, 1, 2, .... Собственные функции n имеют вид
n
=
(2
n
n!)
m
h
1/4
H
n
x
m
h
1/2
e
– mx2/2h
,
(8.7)
где Hn полиномы Эрмита
H
0
(y)
=1,
H
1
(y)
=2y,
H
2
(y)
=4y
2
– 2,
. . . . . . . . . .
H
n
(y)
=
(-1)
n
e
y2
dn