Квантовая механика и интегралы по траекториям

dyⁿ

e

^{– y2}

.

(8.8)

Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции

e

^{– t2+2ty}

=

ⁿ⁼⁰

H

_n

(y)

tⁿ

n!

.

(8.9)

Все эти результаты можно было бы получить и другим путём. Так, например, функции _n мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временно'й зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.

Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.е.

m

2ih sin T

1/2

exp

im

2h sin T

[

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

cos T

–

2x

₁

x

₂

]

=

=

ⁿ⁼⁰

e

^{– (i/h)E_nT}

_n

(x

₂

)

_*

ⁿ

(x

₁

)

.

(8.10)

Используя соотношения

i sin T

=

1

2

e

^iT

(1-e

^{– 2iT}

)

,

cos T

=

1

2

e

^iT

(1+e

^{– 2iT}

)

,

(8.11)

левую часть равенства (8.10) можно записать как

m

h

1/2

e

^{– (iT/2)}

(1-e

^{– 2iT}

)

^1/2

x

x

exp

–

m

2h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

1+e^2iT

1-e^2iT

–

4x₁x₂e^{– iT}

1-e^2iT

.

(8.12)

Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции exp(-iT). Так как первый коэффициент здесь равен exp(-iT/2), то все члены этого разложения будут иметь вид exp(-iT/2) exp(-inT/2), где n=0, 1, 2, …, а это означает, что уровни энергии определяются выражением

E

_n

=

h

n+

1

2

,

(8.13)

Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере n=2. Разлагая левую часть равенства (8.10) до членов указанного порядка, получаем

m

h

1/2

e

^{– (iT/2)}

1+

1

2

e

^{– 2iT}

+…

exp

–

m

2h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

–

–

m

h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

(

e

^{– 2iT}

+…

)

+

2m

h

x

₁

x

₂

e

^{– iT}

+…

(8.14)

или

m

h

1/2

exp

–

m

2h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

e

^{– iT/2}

1+

1

2

e

^{– 2iT}

x

x

1+

2m

h

x

₁

x

₂

e

^{– iT}

+

4m^2^2

2h^2

x

₂

¹

x

₂

²

e

^{– 2iT}

–

–

m

h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

e

^{– 2iT}

…

.

(8.15)

Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен

m

h

1/2

exp

–

m

2h

(x

₂

¹

+x

₂

²

)

e

^{– (iT/2)}

=

e

^{– (i/h)E₀T}

₀

(x

₂

)

_*

⁰

(x

₁

)

(8.16)

Это означает, что E₀=h/2 и

₀

(x)

=

m

h

¹/₄

e

^{– (mx^2/2h)}

.

(8.17)

Мы выбрали в качестве ₀ действительную функцию. Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель eⁱ (где константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата.