Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Q
–
=
Q
Q
*
.
(8.81)
Множитель 1/2 возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям , положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как Q*– Q– = QQ*. Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных
Задача 8.3. Покажите, что Qc и Qs — нормальные координаты, представляющие соответственно стоячие волны 2cos(2j/N) и 2sin(2j/N), т.e. что для нечётных N
q
j
=
1/2 (N-1)
=1
Q
c
2
cos
2j
N
+
1/2 (N-1)
=1
Q
s
2
sin
2j
N
.
(8.82)
Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты Qc и Qs, покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде
=A exp
–
1
2
N
=1
Q
*
Q
,
(8.83)
где A — постоянная.
Задача 8.5. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной 1). Таким образом, ожидаемая величина функционала F в состоянии , заданном выражением (8.83), равна
0
|F|
0
=
…
*
0
F
0
dQ
0
dQ
1
…
dQ
N
.
(8.84)
1) Сравните это определение ожидаемой величины с определением ожидаемого значения оператора в § 3 гл. 5 [см., в частности, формулу (5.46)].
Покажите, что имеют место следующие ожидаемые величины:
0
|
Q
|
0
=
0
|
Q
*
|
0
=0,
0
|
Q
2
|
0
=
0
|
Q
*2
|
0
=0,
0
|
Q
*
Q
|
0
=
1
22
0
|1|
0
,
0
|
Q
*
Q
|
0
= 0
при /=.
(8.85)
Таким
образом, с помощью лагранжиана, выраженного через нормальные координаты, нам удалось свести рассмотрение системы к рассмотрению набора независимых простых гармонических осцилляторов. Квантовомеханическая часть решения здесь получается совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая многоатомной молекулы. При этом нам необходимо знать только квантовомеханическое решение для свободного гармонического осциллятора.Задача 8.6. Покажите, что константы aj будут теми же и тогда, когда связь атомов осуществляется не непосредственно с ближайшими соседями, а имеет некоторое протяжение и данный атом посредством постоянной взаимодействия k оказывается связанным с удалённым от него k-м атомом. Предполагая, что величина k быстро убывает с ростом k, определите частоту при наличии подобной связи, т.е. когда потенциальная энергия определяется уже не выражением (8.66), а другим, подобным ему, но учитывающим относительные смещения всех возможных пар (каждое из которых умножается на соответствующее k), т.е.
V=(^2/2)
k
(q
k+j
– q
j
)^2
.
k
j
§ 5. Приближение непрерывной среды
Параметры мод, которые мы определяли до сих пор, соответствуют случаю, когда каждый атом совершает колебания с некоторым фазовым сдвигом по отношению к другому атому рассматриваемой цепочки, т.е. когда по цепочке атомов бежит волна колебаний. Если фазовый сдвиг между соседними атомами мал, то длина волны велика.
Поведение атомов в таких длинноволновых модах представляет особый интерес. Если длина волны существенно превосходит расстояния между атомами, то этими расстояниями можно пренебречь. В таком случае движение очень хорошо описывается с помощью модели «непрерывной среды». Цепочка атомов здесь может быть представлена как непрерывный стержень с усреднёнными определённым образом свойствами, такими, как масса, приходящаяся на единицу длины =1/d. (вспомним, что массу каждого атома мы положили равной единице). Разумеется, с физической точки зрения реальный стержень на самом деле является дискретным набором атомов. Однако в этом параграфе мы будем рассматривать приближение непрерывной среды, заменив цепочку атомов сплошной струной.