Квантовая механика и интегралы по траекториям

u

t

^2

dx

–

c^2

2

u

x

^2

dx

.

(8.105)

Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид exp (ikx), а нормальные координаты имеют вид U(k,t). Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжиан через эти нормальные координаты, то получится

L

=

2

U(k,t)

t

^2

dk

2

–

c^2

2

k^2U^2(k,t)

dk

2

.

(8.106)

Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует своё значение k. В принятом нами приближении непрерывной среды k является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по dk на самом деле является суммой по дискретным значениям k, причём соседние значения k отличаются друг от друга на величину 2/L (L — длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе.

Уравнения движения можно выразить в непрерывных переменных, если найти экстремум для интеграла действия

_T

⁰

L

dt

.

Используя лагранжиан L из выражения (8.105), получаем

^2u

t^2

=

c^2

^2u

x^2

.

(8.107)

С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8.107) имеет решение

u

=

e

^{– it}

a(x)

,

(8.108)

в точности совпадающее с выражением (8.71), где

– ^2a

=

c^2

da

dx

^2

,

(8.109)

и в полном соответствии с выражениями (8.70) и (8.74)

a(x)

=

e

^ikx

.

(8.110)

Сопоставляя между собой (8.109) и (8.110), мы видим, что частота =kc аналогична частоте, определяемой выражением (8.90), которое фактически сводится к этому значению в пределе при малых k.

Движение, описываемое решением (8.108), где коэффициент a определяется формулой (8.110), соответствует бегущей волне, движущейся со скоростью c, т.е., говоря точнее, c определяет скорость, с какой распространялся бы звук вдоль этой цепочки атомов. На самом же деле в системе наблюдается дисперсия, т.е. не будет пропорциональна k. Для длин волн порядка атомных расстояний, подобное отклонение от пропорциональности будет уже существенным, что видно из выражения (8.90).

§ 6. Квантовомеханическое рассмотрение цепочки атомов

Мы видели, что поведение цепочки атомов можно представить набором мод движения, где каждая мода соответствует одному гармоническому осциллятору. Энергетическое состояние каждого такого осциллятора задаётся некоторым квантовым числом его моды. Каждой моде отвечает одно волновое число k и своя частота . Энергия моды частоты принимает значения h/2, 3h/2, 5h/2, … или 0, h, 2h/2, …, если отсчитывать её от основного уровня h/2. В этом случае можно сказать, что в колебании присутствуют 0, 1, 2, … фононов с волновым числом k (или с частотой ).

Возможно, что одновременно будет возбуждаться несколько различных мод. Например, мы можем иметь: 1) моду с волновым числом k₁, которая будет возбуждена до первого уровня, если отсчитывать от её основного, т.е. нулевого, состояния; 2) моду с волновым числом k₂, возбуждённую также до своего первого уровня; 3) моду с волновым числом k₃, возбуждённую до своего второго уровня.

Тогда состояние всей системы будет соответствовать полной энергии h(₁+₂+2₃). В этом случае говорят, что в системе присутствуют четыре фонона: один фонон с волновым числом k₁, один — с волновым числом k₂ и два с волновым числом k₃.

Основное состояние всей системы будет иметь энергию

E

_осн

=

^k

h_k

2

.

(8.111)

Если воспользоваться приближением непрерывной среды и положить =kc, то это выражение приобретает вид

E

_осн

=

L

2

_kмакс

⁰

hkc

2

dk

.

(8.112)

Заметим, что если верхний предел k_макс в этом интеграле устремить к бесконечности, то интеграл станет расходящимся. Однако равенство =kc, которое мы здесь использовали, выполняется только в случае длинных волн (т.е. для малых значений k).

Можно уточнить величину энергии основного состояния, применив точное выражение для частоты и подобрав разумный верхний предел в интеграле по k. Так, выбрав _k в виде (8.90), получим для энергии основного состояния значение

E

_осн

=

k=k_макс

k=-k_макс

h

2

sin

kd

2

,

(8.113)

где

k

_макс

=

2

d

.

(8.114)

Это можно переписать в виде

_n=N/2

^n=-N/2

h

sin

n

N

2h

(Im)

_N/2

ⁿ⁼⁰

e

^in/N

.

(8.115)

Для очень больших N этот результат можно аппроксимировать выражением

E

_осн

=

2hcL

1

d^2

.

(8.116)

Отсюда видно, что энергия пропорциональна длине нашей системы и неограниченно растёт, когда межатомное расстояние d стремится к нулю, т.е. энергия основного состояния в случае непрерывной среды не определена. Понятно, что для реальных объектов энергия всегда имеет конечное значение.