Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
1) Термин «мода» (mode), как синоним собственного нормального колебания некоторой связанной системы с большим числом степеней свободы, часто встречается в зарубежной физической литературе, а последнее время проникает и в издания на русском языке. Будучи несколько жаргонным, он вместе с тем обладает преимуществом краткости. Поскольку авторы настоя щей книги широко пользуются этим термином, он сохранён и в переводе.— Прим. ред.
Фиг. 8.1. Нормальные моды молекулы CO2.
Знак означает движение из плоскости рисунка, знак означает движение
Если в молекуле имеется N атомов, то она обладает n=3N различными модами движения. Таким образом, например, молекула CO2 имеет девять мод, как это показано на фиг. 8.1, где движение каждого атома указано стрелкой. В этом случае только первая и четвёртая моды являются периодическими (т.е. имеют отличную от нуля частоту). На рисунке указано направление движения в первую половину цикла; во вторую половину цикла все стрелки будут обращены в противоположную сторону.
Получим теперь математическое описание мод. Конечно, это рассмотрение относится более к классической физике, нежели к квантовой механике.
Рассмотрим некоторую частную моду частот . В этом случае по всем координатам qj происходят колебания с одинаковой частотой. Можно выбрать такую систему начальных смещений aj (свою для каждой моды), что при нулевых начальных скоростях изменение любой координаты со временем может быть записано в виде
q
j
=
a
j
cos t
.
(8.37)
Подставив это соотношение в уравнение (8.36), получим
^2
a
j
=
n
k=1
v
jk
a
k
.
(8.38)
Это система из n уравнений для n неизвестных действительных величин aj. Поскольку эта система однородна, она имеет решение только тогда, когда детерминант из коэффициентов системы равен нулю. Следовательно, необходимо потребовать
(^2-v
11
)
– v
21
…
– v
n1
– v
12
(^2-v
22
)
…
…
…
…
…
…
– v
1n
…
…
(^2-v
nn
)
=0 .
(8.39)
Это уравнение имеет n решений для ^2. Для каждого решения, например для ^2, можно найти значения aj из системы уравнений (8.38); обозначим их как aj. В силу однородности системы её решения определяются лишь с точностью до произвольного общего множителя. Выберем этот множитель так, чтобы
n
k=1
a
2
j
=1.
(8.40)
Очевидно, этот процесс можно повторить для всех n мод, т.е. для =1, 2, …, n. Таким образом определим n
величин ^2 и для каждого значения получим n констант aj. Любое возможное движение атомов системы представляется линейной комбинацией этих мод. Следовательно, величину смещения в общем случае можно записать какq
j
=
n
=1
C
a
j
cos(
t+
)
.
(8.41)
Постоянная амплитуда C и постоянная фаза зависят здесь от начальных условий. То, что выражение (8.41) действительно описывает движение в нашей системе, легко проверить, подставив его в уравнение (8.36).
Удобно ввести в выражение (8.41) комплексные обозначения:
q
j
=
n
=1
C
a
j
e
it
e
i
=
n
=1
c
a
j
e
it
.
(8.42)
Физический смысл имеет только действительная часть этого выражения. Комплексные постоянные c зависят от начальных условий и могут быть определены, например, так: если начальные смещения и скорости равны соответственно qj(0) и qj(0), то
q
j
(0)
=
Re
n
=1
c
a
j
=
n
=1
(
Re
c
)
a
j
,
q
j
(0)
Re
n
=1
i
c
a
j
=
n
=1
[-(
Im
c
)
a
j
].
(8.43)
Поскольку все константы aj являются действительными величинами, эти пары уравнений определяют как действительную, так и мнимую части c.
Систему уравнений (8.43) очень просто решить, если использовать одно важное свойство, вытекающее из (8.48), которое мы сейчас и докажем. При любом значении постоянные aj, удовлетворяют соотношению
2
a
j