Квантовая механика и интегралы по траекториям

Обычно очень удобно измерять вместо самой полной энергии системы разность между ней и энергией основного состояния. В пользу этого можно высказать два соображения: 1) на самом деле энергия основного состояния неизвестна, да и не представляет интереса для большинства физических задач (например, в энергию основного состояния входят энергии всех электронов, налетающих на атом); 2) когда мы имеем дело лишь с возбуждением длинных волн, приближение непрерывной среды оказывается очень полезным и даёт хорошие оценки энергии возбуждения. Однако это же приближение даёт неразумный результат для энергии основного состояния, поскольку мы пренебрегаем расстоянием между атомами d (т.е. полагаем d=0). Таким образом, если мы пользуемся приближением непрерывной среды, то должны избегать вычислений энергии основного состояния.

§ 7. Трёхмерный кристалл

В принципе нет большого различия между реальным трёхмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе k, которое теперь уже оказывается вектором с компонентами k_x, k_y и k_z. Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения k получим несколько решений. Далее, реальный кристалл часто состоит не из массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причём каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем, p атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из 3p значений частот для каждой величины k.

В трёхмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решёточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решётки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости). Симметрия решётки находит своё выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны.

В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в произвольном кристалле это необязательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу). В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через c_L для продольных и через c_T для поперечных волн. Каждому k соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту _L=c_Lk (k — модуль вектора k). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на её частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа k, не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т.е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причём обе имеют одинаковую частоту _T=c_Tk.

Каждая отдельная мода, которой соответствует определённое направление поляризации, ведёт себя подобно независимому осциллятору.

Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объёма V. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном k-объёме d^3k=dk_xdk_ydk_z и около значения k. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней L_x, L_y и L_z. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины k_x различаются друг от друга на 2/L_x, так что в интервале dk_x имеется dk_xL_x/2 дискретных значений k_x. Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдём, что число дискретных значений k во всем объёме d^3k составляет

dk_xdk_ydk_z

(2)^3

L

_x

L

_y

L

_z

=

d^3k

(2)^3

V

.

(8.117)

Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.

В общем случае модовая частота _k, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией k, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же k, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.

В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу — приближению непрерывной среды.

Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию — переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.

Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть u(r,t) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть r. Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид

U(k,t)

=

^V

u(r,t)

e

^ikr

d^3r

,

(8.118)

где r — пространственный вектор с компонентами x, y, z. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением U и направлением вектора k, т.е. координата U_x(k,t) вектора U не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором k, имеют следующие нормальные координаты:

U

₁

(k,t)

=

k·U

k

(8.119)

(т.е. компоненту U в направлении k)

U

₂

(k,t)

e

₁

·U

,

(8.120)

U

₃

(k,t)

e

₂

·U

,

(8.121)

где e₁ и e₂ — два единичных вектора, перпендикулярных и k, и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определённым соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.

Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде

L

=

2

U₁(k,t)

t

^2

–

c^2k^2

[

U

₁

(k,t)

]^2

d^3k

(2)^3

.

(8.122)

Мы ввели здесь скорость звука c=/k, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных u(r,t) лагранжиан запишется так: