Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Член следующего порядка в разложении равен
e
– iT/2
e
– iT
m
h
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
2m
h
x
1
x
2
=
=
e
– (i/h)E1T
1
(x
2
)
*
1
(x
1
)
.
(8.18)
Отсюда
1
(x)
=
2m
h
x
0
(x)
.
(8.19)
Следующий член соответствует энергии E2=5/2h. Его часть, зависящая от x1 и x2, равна
m
h
1/2
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
2m^2^2
h^2
x
2
1
x
2
2
–
m
h
(x
2
1
+x
2
2
)
;
(8.20)
это не что иное, как произведение функций 2(x2) *2(x1). Так как выражение в скобках может быть переписано как
1
2
2m
h
x
2
1
– 1
2m
h
x
2
2
– 1
,
(8.21)
то мы получим функцию 2 в виде
2
(x)
=
1
2
2m
h
x^2
– 1
0
(x)
.
(8.22)
Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения.
В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций n непосредственно из разложения. Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей задаче.
Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния f(x) в другое состояние g(x) равна амплитуде перехода g|1|f, как это определено в соотношении (7.1).
Пусть f(x) и g(x) могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям n(x) — решениям волнового уравнения, связанного с ядром K(2,1), подобно тому как это делалось в § 2 гл. 4. Таким образом,
f(x)
=
f
n
n
(x)
,
g(x)
=
g
n
n
(x)
.
(8.23)
Используя
коэффициенты fn и gn и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в видеg*(x
2
)
K(x
2
,T;x
1
,0)
f(x
1
)
dx
1
dx
2
=
g
*
n
f
n
e
– (i/h)EnT
.
(8.24)
Пусть теперь мы выбрали две такие функции f и g что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций fn можно получить некоторое представление о волновых функциях n из вида разложений (8.23). Предположим, что функции f и g мы выбрали следующим образом:
f(x)
=
m
h
1/4
exp
–
m
2h
(x-a)^2
,
(8.25)
g(x)
=
m
h
1/4
exp
–
m
2h
(x-b)^2
.
(8.26)
Эти функции представляют собой гауссовы распределения с центрами соответственно в точках a и b. Обозначим их как fn=fn(a) и gn=fn(b). Определим амплитуду перехода f|1|g, где f и g заданы соответственно выражениями (8.25) и (8.26), а ядро совпадает с ядром для случая гармонического осциллятора из выражения (8.1). Интеграл в формуле (8.24) преобразуем так, чтобы получить
exp
–
iT
2
–
m
4h
(a^2+b^2-2ab)
e
– iT
=
=
n
f
n
(a)
f
*
n
(b)
e
– (i/h)EnT
.
(8.27)
Исходя из этого результата, покажите, что En=h(n+ 1/2 ) и
f
n
(a)
=
m
2h
n/2
an
n!
exp
ma2
4h
.
(8.28)
Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для n выражение, которое следует из соотношения (8.7), в предположении, что функции Hn(x) нам неизвестны. Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9).