Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Для некоторой моды с индексом фазовый сдвиг между смежными атомами равен 2/N, так что волна охватывает N/ атомов; если d — расстояние между соседними атомами при равновесии, то длина волны равна =Nd/. Волновое число
k
=
2
=
2
Nd
.
(8.86)
Волновой подход позволяет математически более чётко представить ceбe движение, но для этого нужно немного изменить обозначения. Каждой моде мы припишем своё значение k взамен употреблявшегося ранее индекса . Тогда суммирование по модам (по индексам ) перейдёт в сумму по дискретным величинам k, которые будут целыми числами, умноженными на 2/L (где L=Nd — полная длина струны). Предположим, что xj=jd определяет равновесное положение j-го атома. Тогда уравнения,
a
jk
=
1
N
e
ikx
,
(8.87)
Q
k
=
1
N
N
j=1
q
j
e
ikxj
,
(8.88)
q
j
=
1
N
N
k=1
Q
k
e
– ikxj
(8.89)
и
k
=
2 sin
kd
2
.
(8.90)
Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является kd<<1. Если обозначить произведение d=c, то для малых kd. имеем kc. В этом случае можно представлять себе координаты qj как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т.е. определять смещение j-го атома, как это показане на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения q(xj) и q(xj+1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию q(x) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата Qk является фурье-образом функции q(x), т.е. уравнение (8.88) можно заменить на
Q(k)
=
N
L
L
0
q(x)
e
ikx
dx
.
(8.91)
Эта замена основывается на приближённом соотношении
N
j=1
j
N
L
L
0
dx
,
(8.92)
которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно
N
k=1
k
L
2
2/d
0
dk
,
(8.93)
приводит нас к обратному преобразованию
q(x)
=
L
2N
2/d
0
Q(k)
e
– ikx
dk
.
(8.94)
Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения j-го атома равным uj, т.е. qj=muj, где m — масса атома, равная d. Пусть U — фурье-образ величины u, т.е.
U(k)
=
L
0
u(x)
e
ikx
dx
;
(8.95)
тогда
обратное преобразование дастu(x)
=
1
2
–
U(k)
e
– ikx
dk
.
(8.96)
Нормальной координатой теперь будет U(k); через прежнюю нормальную координату Q(k) она выражается так:
U(k)
=
mL
N
Q(k)
.
(8.97)
Выражение для кинетической энергии, куда входит величина u(x,t), можно получить с помощью соотношения (8.92):
кинетическая энергия=
1
2
u
t
^2
dx
.
(8.98)
Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать
q
i+1
– q
i
=
m
[
u(x
i+1
,t)
–
u(x
i
,t)
]
d
m
u
x
.
(8.99)
Это означает, что потенциальная энергия равна
V
=
^2d^2
2
m
d
L
0
u
x
^2
dx
=
c^2
2
L
0
u
x
^2
dx
.
(8.100)
В последнем равенстве используем константу c=d, которую принято называть коэффициентом упругости. Определить её физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину L, и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок , т.е. новая длина системы составит L(1+). (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до d(1+) и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна
q
i+1
– q
i
=
d
m
.
(8.101)
Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасённой в струне при растяжении
V
=
^2
2
^2
d^2
mN
=
c^2
2
^2
L
.
(8.102)
Таким образом, в пределе при малом е сила, необходимая для растяжения струны, равна
V
L
=
c^2
.
(8.103)
Последнее равенство даёт напряжение в струне, когда деформация {растяжение на единицу длины) равна . Итак, мы имеем
напряжения
деформация
=
c^2
=
постоянная упругости
.
(8.104)
Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так:
L
=
2