Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
С помощью преобразования (8.51) волновые функции состояний можно выразить в зависимости от первоначальных координат qi(t). Например, волновую функцию наинизшего энергетического состояния системы с энергией
(h/2)
n
=1
можно записать в виде
0
=
n
=1
exp
–
Q
2
2
=
exp
–
1
2
n
=1
Q
2
=
=
exp
–
1
2
n
=1
n
j=1
n
k=1
ajajqjqk
.
(8.63)
Эта
– 1/2
n
j=1
n
k=1
M
jk
q
j
q
k
,
где матричный элемент
M
jk
n
=1
ajak
.
(8.64)
Задача 8.2. Покажите, что матрица Mjk равна единице, делённой на квадратный корень из матрицы vjk, т.е. покажите, что
n
k=1
n
l=1
M
jk
M
kl
v
lm
=
jm
.
(8.65)
Может оказаться, что некоторые частоты равны нулю. Например, для молекулы CO2 моды от 5-й до 9-й, как это изображено на фиг. 8.1, имеют нулевую частоту. Эти моды соответствуют сдвигу или вращению молекулы как целого, т.е. движению, в котором нет возвращающей силы. Поскольку возвращающей силы здесь нет, то предположение о малости координат Q, вообще говоря, неверно. Поэтому необходим более точный анализ выражения для кинетической энергии, связанной с переносом или вращением системы в целом. Так как нас сейчас не интересуют такие движения, мы будем предполагать, что эти моды и соответствующие им координаты или вообще не существуют, или не возбуждаются в нашей задаче, так что мы имеем дело только с модами, для которых верно /=0. Если при каких-либо значениях решения ^2 получаются отрицательными (а частоты — мнимыми), то это означает, что система находится в неустойчивом равновесии. Такое состояние подобно тому, в котором окажется карандаш, поставленный на острие. Функции, описывающие движение, в этом случае будут уже не гармоническими, а экспоненциально расходящимися и смещения Q станут бо'льшими. Этот случай не представляет для нас сейчас интереса, и мы опять-таки предположим, что подобные моды отсутствуют.
§ 4. Одномерный кристалл
Фиг. 8.2. Модель одномерного «кристалла», в которой массы частиц расположены вдоль прямой и соединены между собой упругими связями —«пружинами».
Простая модель. Можно представлять себе кристалл как большую многоатомную молекулу, каким-то образом упорядоченную в трёхмерном объёме. Имеет смысл начать рассмотрение этой молекулы с изучения простейшей одномерной модели, состоящей из одинаковых атомов, равномерно расположенных вдоль некоторой линии, как показано на фиг. 8.2. Положим массу каждого атома равной единице и обозначим смещение j-го атома от его положения равновесия через qj. Предположим, что движение атомов может происходить лишь вдоль линии, по которой
они расположены, т.е. ограничимся рассмотрением их продольного движения. Допустим далее, что каждый атом взаимодействует лишь с соседним атомом, что потенциал взаимодействия равен V(R) и зависит только от расстояния R между атомами (т.е. что атомы как бы соединены друг с другом пружинами). При равновесии расстояние между атомами соответствует, очевидно, минимуму потенциала. Примем этот минимум за нуль отсчёта энергии. Если R — величина смещения атома от положения равновесия, то можно разложить этот потенциал в степенной ряд по R таким же образом, как это делалось в выражении (8.32). При этом ограничимся такими малыми смещениями, чтобы все члены порядка выше второго в разложении можно было отбросить. Смещение атомов j и (j+1) от положения равновесия можно написать так: qj+1– qj = Rj,j+1. Обозначим вторую производную потенциала по величине смещения через 2 (величина, одинаковая для всех атомов системы). Тогда потенциальная энергия, связанная с таким смещением, равнаV
j,j+1
=
1
2
^2
(q
j+1
– q
j
)^2
,
(8.66)
и лагранжиан может быть записан как
L
=
N
j=1
1
2
q
2
j
–
N-1
j=1
^2
2
(q
j+1
– q
j
)^2
.
(8.67)
Если положения первого и последенего атомов не фиксированы, то член с j=N в выражении для потенциальной энергии должен быть опущен.
Вытекающие из этого лагранжиана уравнения движения атомов в одномерной модели имеют вид
q
j
=
^2
[
(q
j+1
– q
j
)
–
(q
j
– q
j-1
)
]
(8.68)
для всех j за исключением крайних значений j=1 и n=N. Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лишь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут зависеть от реальных граничных условий, т.е. от того, будут ли граничные атомы свободными или связанными, и т.д. Чтобы вообще исключить эту проблему, в теоретической физике, используется предположение о существовании особой системы простых граничных условий, так называемых периодических граничных условий, так что необходимость в рассмотрении граничных точек отпадает. Досадно, конечно, что такие специальные граничные условия в действительности выполняются редко (если они вообще выполняются), однако для явлений, которые не зависят от граничных эффектов, этот приём вполне оправдан.
Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, за N-й атом, причём предполагается, что смещение (N+j)-го атома всегда точно совпадает со смещением j-го атома. Таким образом, граничное условие можно записать как
q
N+1
=
q
1
,
q
N+1
=
q
1
.
(8.69)
Такое граничное условие заведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов замкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трёхмерном случае это уже невозможно, и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный приём.
Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом связан с твёрдой стенкой или же остаётся свободным и т.д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с атомом другой системы, имеющей аналогичные характеристики.
Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии. В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая её в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в k-й точке системы повторяется снова в N+k-й точке, ещё раз в 2N+k-й и т.д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы.