Логика и рост научного знания

каких допущений о природе «объектов», или «элемен-

тов», и Ь.Мне показалось желательным отказаться

Приложение

даже от допущения о том, что эти «объекты», или «эле-

менты», удовлетворяют законам алгебры (хотя я и

В приложении к этой статье я хочу -сделать заме-

считал, что это имеет место). Поэтому я попытался по-

чания в отношении истории вопроса и несколько заме-

строить систему, включавшую только аксиомы «мет-

чаний по поводу аксиоматических систем ^исчисления

рического» характера. Другим стимулирующим факто-

вероятностей.

ром являлось стремление создать такую теорию, в ко-

Различение между субъективной, логической и объ-

– торой формула (4), упомянутая в прим. 1 к настоящей

ективной (статистической) интерпретациями вероят-

статье, то есть

ности, которое я провел в 1934 году в моей книге [12, с. 148—150], часто использовалось для обоснования

р(а,сс)=1,

тезиса о том, что по крайней мере в физике имеет

была бы теоремой. Эта формула, как оказалось, яв-

смысл только статистическое понятие вероятности.

ляется критерием адекватности для логической интер-

(Ныне я бы заменил в этом тезисе термин «статистиче-

претации, и она вообще желательна в силу некоторых

ская интерпретация» на «интерпретация в терминах

общих соображений.

предрасположенности».) Однако в этой же книге я ис-

Первая система такого типа была сформулирована

пользовал в значительной степени также и логическую

мною в работе [6]. Я упростил ее аксиомы в 1956 году

интерпретацию вероятности (в частности, для того что-

(см. [7, соответствующая система аксиом приведена

бы показать, что «содержание=логической невероят-

на с. 191]). Эта упрощенная система и некоторое число

ности»). В 1938 году я выдвинул аргументы в пользу

ее вариантов детально обсуждались в [12, прил. *IV].

«формальной»теории вероятностей, основывающейся

Здесь я приведу еще один из ее вариантов

на некоторой системе аксиом, «конструируемой таким

4 . В этой си-

стеме в качестве неопределяемых терминов исполь-

образом, чтобы имелась возможность... интерпретиро-

– зуются: класс 5 «объектов», или «элементов», а, Ь,...; вать ее при помощи любой из до сих пор предложен-

элемент-произведение abэлементов аи Ь;элемент-до-

ных интерпретаций... а также с помощью еще некото-

рых других интерпретаций» [12, с. 320]. Анализируя

•полнение элемента а.

эти интерпретации с точки зрения потребностей истол-

Система включает три аксиомы5.

кования квантовой теории, я предложил интерпретацию

вероятности в терминах предрасположенности. К тому

4 По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332], настоя-

щая система в аксиоме В сочетает А2, В1 и В2, а С в ней есть

же я установил, что ранее [12, с. 212] я явным образом

утверждение Cs,сформулированное в [12, с. 334].

возражал против такой интерпретации.

5 Мы будем использовать следующие сокращения: «(х)»вместо

По моему мнению, свобода оперирования с различ-

«Для всех элементов из S», «(Ел;)» для «существует по крайней ме-

ными интерпретациями вероятности тесно связана с

Реодин элемент из S,такой, что», «...
– ^...» для «если... то...»,

*·«-*·» для «если, и только если» и «&» для «и».

принятием формального, или аксиоматического, подхо-

58*

435

434

Постулат А.Если аи b— элементы S,то р(а, Ь)—

ленные слева направо. Определение Cd, которым мож-

действительное число и выполняется следующая ак-

но заменить CD, свободно от этого недостатка6: сиома:

Cd p ("a, b) = p(c, с)—p (a, b)– — (Ed) p (с, с) p (d, b).

А (Ее) (Ed) p (а, Ь)Фр (с, а).

В определении BD можно подставить «р(е, е)»вме-

сто второго вхождения «p (а, а)». (При этом A3 из

Постулат В.Если аи b— элементы S, то ab— эле-

[12, с. 332] становится выводимой из BD.) В этом Слу-

мент S,и при условии, что с(следовательно, be)и а

чае можно упростить CD и Cd, записывая «р(а, а)»

также являются элементами S,выполняется следующая

вместо «р(е, е)»или «р(с, с)».

аксиома:

По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332] т

В (р(а,а) = р (be, d) &p (be, c) = p(d, с))— –

постулаты В и BD включают в себя А2. Наличие в си-

стеме А2 вместе с любойиз других аксиом имеет то

– >· p (ab, с) = р(а, d) p (b, с)< p (a, c).

преимущество, что получающаяся в результате система

является «полностью метрической» в том смысле, что

Постулат С.Если — элемент S, — также эле-

независимость всех ее аксиом можно доказать при по-