Логика и рост научного знания

падения шестерки меньше 1/4 и фактически равна 1/6, тельно ответить. Вместе с тем имеется одно простое и

но мы прекрасно сознаем невозможность идентифициро-

важное возражение, которое, насколько мне известно, в

вать эти бросания и то, что они оказывают очень не-

излагаемой далее форме никогда ранее не выдвига-

большое влияние на всю последовательность при до-

лось.

статочно большом числе ставок. После сказанного

Предположим, что в нашем распоряжении имеется

становится совершенно ясно, что, даже приписывая

кость со свинцом и после длинной серии экспериментов

этим неизвестным бросаниям вероятность, равную 1/6, мы убедились, что вероятность выпадения шестерки на

мы не имеем и не можем иметь в виду под словом

этой кости со свинцом практически равна 1/4. Теперь

«вероятность» «разумный коэффициент ставок, полу-

рассмотрим последовательность Ь,состоящую, скажем, ченный на основе всего имеющегося в нашем распоря-

из бросаний кости со свинцом, но вместе с тем вклю-

жении знания», как утверждается в субъективной тео-

чающую и несколько бросаний (два или самое боль-

рии вероятностей.

шее три) однородной и симметричной кости. Об этих

Оставим, однако, субъективную теорию в покое. Что

бросаниях правильной кости нам, очевидно, следует

Может ответить на наши возражения сторонник частот-

сказать, что вероятность выпадения шестерки в этом

ной теории?

случае равна 1/6, а не 1/4, хотя эти бросания, согласно

Будучи в течение многих лет приверженцем частот-

422

423

ной теории, я прекрасно знаю, что же в таком случае

lb такому классу.Дело в том, что в нашем примере с

ответил бы по крайней мере один из ее сторонников.

не является виртуально бесконечной последователь-

Данное нами описание последовательности bпока-

ностью. Согласно нашему предположению, она содер-

зывает, что bслагается из бросаний кости со свинцом

жит самое большее три элемента. В последовательности

и правильной кости. Согласно нашей оценке или скорее

beшестерка может не выпасть ни разу, выпасть один, нашему предположению, сформулированному на осно-

два или три раза. Но она навернякане встречается в

вании нашего предыдущего опыта или интуиции (каков

последовательности beс частотой 1/6, так как н-ам из-

источник этого предположения — не имеет никакого

вестно,что эта последовательность соостоит не более

значения), грань с цифрой «шесть» будет появляться в

чем из трех элементов.

последовательности бросаний кости со свинцом с часто-

Таким образом, в данном случае имеются две бес-

той 1/4, а в последовательности бросаний правильной

конечные или очень длинные последовательности: (ак-

кости — с частотой 1/6. Обозначим эту последнюю по-

туальная) последовательность bи (виртуальная) по-

следовательность, то есть последовательность бросаний

следовательность с.Рассматриваемые бросания кости

правильной кости, через «с». Тогда имеющаяся у нас

принадлежат сразу к обеим последовательностям. Вся

информация о строении последовательности bтакова: наша проблема заключается в следующем: хотя инте-

(1) p (а,Ь) = 1/4 (или очень близка к 1/4), потому что

ресующие нас бросания принадлежат обеим последо-

почти все бросания производятся костью со свинцом, и

вательностям и хотя нам известно только то, что эти

(2) be— класс бросаний, принадлежащих и последова-

конкретные бросания beвходят в последовательность bтельности Ъ,и последовательности с,— непуст. Посколь-

(но нам неизвестно, где именно они входят, и поэтому

ку же beсостоит из бросаний, принадлежащих после-

мы не можем их идентифицировать), мы все же увере-

довательности с,мы имеем право заявить, что сингу-

ны, что в случае совершения этих бросаний их собствен-

лярная вероятность выпадения шестерки в последова-

ную, реальную сингулярную вероятность следует оце-

тельности бросаний, принадлежащих be,будет равна

нивать как равную 1/6, а не 1/4. Иными словами, хотя

1/6. Это заключение основывается на факте вхождения

совершаемые бросания принадлежат обеим последова-

рассматриваемых сингулярных бросаний в последова-

тельностям, мы не сомневаемся в том, что их сингуляр-

тельность с, для которой (, с) = 1/6.

ная вероятность должна быть оценена как равная час-

Я думаю, что в свое время я отвечал бы именно та-

тоте последовательности с,а не последовательности Ь.

ким образом. Теперь мне остается только удивляться: И основанием этого является то простое обстоятель-

как я мог удовлетвориться таким ответом! В настоящее

ство, что это — бросания другой (правильной) костью, а

время мне представляется очевидным, что этот ответ

согласно нашей оценке или предположению, в последо-

совершенно неудовлетворителен.

вательности бросаний правильной кости шестерка бу-

Конечно, нет никаких сомнений в совместимости двух