Логика и рост научного знания

нальной функции, или функции-высказывания (ср. вы-

личными частями помогает нам решить, какая из этих

ше, прим. 14), которая представляет собой неполное

частей затрагивается некоторым отдельным фальсифи-

высказывание, имеющее одно или несколько «пустых

цирующим наблюдением.

мест». Двумя примерами таких пропозициональных

функций, или функций-высказываний, являются: «Изо-

топ элемента имеет атомный вес 65» и «х-\-у=12».

Каждая такая пропозициональная функция превра-

17 В связи с этими четырьмя условиями и содержанием следую-

щего раздела см. несколько другое понимание рассматриваемых

щается в высказываниеблагодаря подстановке опреде-

проблем в [10, с. 70].

Г*

99

98

ленных значений на пустые места — вместо и у.По-

таким образом, не может рассматриваться как система

лучающиеся в результате подстановки высказывания

эмпирических, или научных, гипотез (в нашем смысле), будут либо истинными, либо ложными в зависимости от

так как ее нельзя опровергнуть посредством фальсифи-

подставляемых значений (или их комбинаций). Так, в

кации ее следствий, которые также должны быть анали-

первом примере подстановка слова «медь» или «цинк»

тическими.

вместо дает истинное высказывание, в то время как

(2) Каким же образом аксиоматическую систему

другие подстановки дают ложные высказывания. То, можно интерпретировать как систему эмпирических, или

что я называю «высказыванием-уравнением», получает-

научных, гипотез?Обычный ответ на этот вопрос со-

ся в том случае, когда для некоторой пропозициональ-

стоит в том, что исходные термины аксиоматической си-

ной функции мы решаем допускать подстановку только

стемы нужно рассматривать не как неявно определен-

таких значений, которые превращают эту функцию в

ные, а как «внелогические константы». Например, истинное высказывание,Посредством такого высказы-

такие понятия, как «прямая» и «точка», встречающие-

вания-уравнения определяется некоторый класс допу-

ся в каждой системе аксиом геометрии, можно интер-

стимых значений системы, а именно класс тех значе-

претировать как «световой луч» и «пересечение световых

ний, которые ей удовлетворяют. Аналогия с математи-

лучей». При этом высказывания аксиоматической систе-

ческим уравнением здесь очевидна. Если наш второй

мы становятся высказываниями об эмпирических объ-

пример интерпретировать не как пропозициональную

ектах, то есть синтетическими высказываниями.

функцию, а как высказывание-уравнение, то он стано-

На первый взгляд такое понимание может пока-

вится уравнением в обычном (математическом) смысле.

заться вполне удовлетворительным. Однако оно приво-

Поскольку неопределяемые фундаментальные идеи

дит к трудностям, которые связаны с проблемой эмпи-

или исходные термины можно рассматривать как пу-

рического базиса.Совершенно неясно, как можно эм-

стые места, постольку аксиоматическая система оказы-

пирически определить понятия.Обычно в этом случае

вается системой пропозициональных функций. Однако

говорят об «остенсивных определениях», что означает, если мы решаем допускать для подстановки только та-

что определенное эмпирическое значение приписывает-

кие комбинации значений, которые ей удовлетворяют, ся понятию посредством соотнесения его снекоторыми

она превращается в систему высказываний-уравнений.

объектами, принадлежащими реальному миру. При этом

В качестве таковой она неявно определяет класс (до-

понятие рассматривается как символ этих объектов.

пустимых) систем понятий. Каждая система понятий, Однако очевидно, что посредством остенсивной ссылки

удовлетворяющая системе аксиом, может быть названа

на «реальные объекты» — скажем, посредством указа-

моделью этой системы аксиом.

ния на определенную вещь и произнесения некоторого

Интерпретация аксиоматической системы как систе-

имени или посредством навешивания на вещь некото-

мы (конвенций или) неявных определений разнозначна

рого ярлыка — можно фиксировать только индивидуаль-

принятию следующего решения: допустима подстановка

ные имена (или понятия). Но понятия, используемые в

в систему только моделей*18. В таком случае результа-

аксиоматической системе, должны быть универсальны-

том подстановки будет система аналитических выска-

ми именами, которые нельзя определить с помощью

зываний (так как она будет истинной по соглашению).

эмпирических признаков, указаний и т. п. Если их во-

Поэтому аксиоматическая система, интерпретированная

обще можно определить, то сделать это можно с по-

мощью других универсальных имен,в противном слу-

чае они останутся неопределяемыми. Таким образом,

*18 Сегодня я должен провести четкое различие между система-

ми объектов,удовлетворяющих некоторой системе аксиом, и систе-

некоторые универсальные имена должны остаться не-

мой имен этих объектов,которые можно подставлять в аксиомы

определяемыми, и в этом кроется трудность. Эти не-

(превращая их в истинные), и лишь первую систему называть «мо-

определяемые понятия всегда могут быть использованы