Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Если p1– перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а P1– произведение полуосей поверхности, то p1D2D3=P1 Отсюда следует, что
R
1
=
V1– V2
1– 2
cp1
P1
,
(21)
т.е.
Поверхностная плотность может быть найдена из уравнения
4
=
R
1
(22)
Полное количество электричества на сегменте, отсекаемом на листе гиперболоида плоскостью x=d, равно
Q
=
c
2
V1– V2
1– 2
d
1
– 1
.
(23)
Следовательно, полный заряд на всем бесконечном листе бесконечен.
Предельные формы этой поверхности:
1. При =F(k) поверхность является частью плоскости xy расположенной с положительной стороны от положительной ветви гиперболы, уравнение которой
x^2
a^2
–
z^2
c^2-b^2
=
1.
(24)
2. При =0 поверхность переходит в плоскость yz.
3. При =-F(k) поверхность является частью плоскости xz, расположенной с отрицательной стороны от отрицательной ветви той же гиперболы.
Однополостный гиперболоид
Положив постоянным , мы получаем уравнение однополостного гиперболоида. Поэтому две поверхности, образующие границы электрического поля, должны принадлежать двум различным гиперболоидам. В остальном исследование проводится так же, как и для двухполостного гиперболоида. Точно так же при заданной разности потенциалов плотность заряда в произвольной точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости, а полный заряд на бесконечной поверхности бесконечен.
Предельные формы
1. При =0 поверхность является частью плоскости xz, заключённой между двумя ветвями гиперболы, уравнение которой (24) написано выше.
2. При =-F(k') поверхность является частью плоскости xy, находящейся вне фокального эллипса, уравнение которого
x^2
a^2
–
y^2
c^2-b^2
=
1.
(25)
Эллипсоиды
Для каждого заданного эллипсоида постоянно. Если два эллипсоида 1 и 2 поддерживаются при потенциалах V1 и V2 то для произвольной точки между ними
V
=
1V2– 2V1+(V1– V2)
1– 2
.
(26)
Поверхностная плотность заряда в произвольной точке равна
=
–
1
4
V1– V2
1– 2
cp2
P3
,
(27)
где p2–
перпендикуляр из центра к касательной плоскости, а P2– произведение полуосей.Полный электрический заряд на каждой поверхности даётся соотношением
Q
2
=
c
V1– V2
1– 2
=
–
Q
1
(28)
и конечен.
При =F(k) поверхность эллипсоида уходит в бесконечность по всем направлениям.
Если положить V2=0, a 2=F(k), мы получим для электрического заряда на эллипсоиде находящемся под потенциалом V в безгранично простирающемся поле, выражение
Q
=
c
V
F(k)-
.
(29)
Предельная форма для эллипсоидов получается при =0 когда поверхность превращается в часть плоскости xy внутри фокального эллипса, уравнение которого (25) написано выше.
Поверхностная плотность заряда по обе стороны эллиптической пластинки с уравнением (25) и эксцентриситетом k равна
=
V
·
1
·
1
,
4
c^2-b^2
F(k)
1
–
x^2
c^2
–
y^2
c^2-b^2
1/2
(30)
а заряд её равен
Q
=
c
V
F(k)
.
(31)
Частные случаи
151. Если c остаётся конечным, в то время как b а следовательно, и k неограниченно уменьшаются, принимая в конце концов нулевое значение, система поверхностей преобразуется следующим образом:
Действительная ось и одна из мнимых осей каждого двухполостного гиперболоида неограниченно уменьшаются, а сама поверхность в конце концов переходит в две плоскости, пересекающиеся по оси z.
Величина а совпадает с , и уравнение системы меридиональных плоскостей, к которым свелись гиперболоиды, имеет вид
x^2
(sin )^2
–
y^2
(cos )^2
=
0.
(32)
Что касается величины , то определение (7) в п. 147 привело бы нас к бесконечному значению интеграла на нижнем пределе. Чтобы избежать этого, определим в этом частном случае интегралом
c
2
cd2
2 c^2-2^2
.
Положив теперь 2=c sin , получим для
/2
d
sin
, т.е. ln ctg
2
,
откуда
cos
=
e– e–
e+e–
,
(33)
и, следовательно,