Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
sin
=
2
e+e–
.
(34)
Если мы назовём экспоненциальную функцию (e+e– )/2 гиперболическим косинусом или, короче, гипокосинусом и обозначим через ch , а функцию (e– e– )/2 назовём гипосинусом и обозначим sh и введём таким же образом функции, аналогичные другим простым тригонометрическим функциям, то получим, что 2=c sch , а уравнение для системы однополостных
x^2+y^2
(sch )^2
–
z^2
(th )^2
=
c^2.
(35)
Величина сводится к , так что 3=c sec и уравнение для системы эллипсоидов имеет вид
x^2+y^2
(sec )^2
–
z^2
(tg )^2
=
c^2.
(36)
Такого рода эллипсоиды представляют собою тела вращения относительно своих сопряжённых осей и называются планетарными эллипсоидами.
Количество электричества на планетарном эллипсоиде, находящемся под потенциалом V в безграничном поле, равно
Q
=
c
V
1/2 -
,
(37)
где c sec - экваториальный радиус, а c tg - полярный радиус.
При =0 фигура становится круговым диском радиуса c и
=
V
2^2 c^2-r^2
,
(38)
Q
=
c
V
1/2
,
(39)
152.Второй случай. Пусть b=c, тогда k=1, k'=0,
=
ln tg
+2
4
, откуда
1
=
c th
,
(40)
и уравнение двухполостных гиперболоидов вращения принимает вид
x^2
(th )^2
–
y^2+z^2
(sch )^2
=
c^2
.
(41)
Величина переходит в , а каждый однополостный гиперболоид сводится к паре плоскостей, пересекающихся по оси x, уравнение которых
y^2
(sin )^2
–
z^2
(cos )^2
=
0.
(42)
Это система меридиональных плоскостей, для которых служит координатой долготы.
Величина , определяемая формулой (7) (п. 147), становится в этом случае бесконечной на нижнем пределе. Чтоб избежать этого, определим интегралом
3
cd3
3^2-c^2
.
Положив теперь 3=c sec , получим
=
/2
d
sin
,
откуда 3=c sec и уравнение семейства эллипсоидов принимает вид
x^2
(cth )^2
–
y^2+z^2
(ssh )^2
=
c^2
.
(43)
Эти
эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами.Количество электричества на яйцеобразном эллипсоиде, находящемся под потенциалом V в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29),
cV
/2
0
c
sin
– 1
,
(44)
где c sec 0– полярный радиус.
Если обозначить полярный радиус через A, а экваториальный - через B, последняя формула запишется в виде
V
=
A^2-B^2
.
ln
A+
A^2-B^2
B
(45)
Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закруглёнными концами, то
Q
=
AV
ln 2A-ln B
.
(46)
Если и b, и c стремятся к нулю, а их отношение остаётся постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны .
Если отношение b к c равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны . Это обычная система сферических полярных координат.
Цилиндрические поверхности
153. При бесконечно большом значении c поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси z. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда c бесконечно велико, k=0, и, следовательно, =, так что уравнение этой системы имеет вид
x^2
sin^2
–
y^2
cos^2
=
b^2
.
(47)
Другая система цилиндров - эллиптическая, и поскольку k=0, то равно
2
0
d2
2^2-b^2
, т.е.
2
=
b ch
,
и уравнение этой системы имеет вид
x^2
(ch )^2
–
y^2
(sh )^2
=
b^2
.
(48)
Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.
Конфокальные параболоиды
154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси x, находящуюся на расстоянии t от центра системы, и подставить вместо x, , a и b соответственно величины t+x, t+, t+a и t+b а затем неограниченно увеличивать t, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках x=b и x=c т.е. уравнение