Трактат об электричестве и магнетизме

e₁

r₁

+

e₂

r₂

.

(1)

Эквипотенциальные поверхности для такого распределения зарядов показаны на рис. I (в конце этого тома) для e₁ и e₂ одного знака и на рис. II для зарядов противоположного знака. Рассмотрим теперь ту поверхность, на которой V=0 и которая является единственной сферической поверхностью в системе. Если e₁ и e₂ одного знака, то эта поверхность находится вся в бесконечности, если же знаки зарядов противоположны, то существует плоскость или сферическая поверхность на конечном расстоянии, на которой потенциал равен нулю.

Уравнение этой поверхности имеет вид

e₁

r₁

+

e₂

r₂

=

0.

(2)

Центр её находится в точке C на продолжении отрезка AB, для которого

AC

BC

=

e₁^2

e₂^2

,

а радиус сферы равен

AB

e₁e₂

e₁^2e₂^2

.

Точки A и B являются инверсными по отношению к этой сфере, т. е. они лежат на одном и том же радиусе, и радиус сферы является средним геометрическим между их расстояниями от её центра.

Поскольку сферическая поверхность находится под нулевым потенциалом, то если предположить, что она представляет собой тонкую металлическую оболочку, соединённую с землёй, не произойдёт никакого изменения потенциала ни в одной точке ни вне, ни внутри сферы, т. е. всюду электрическое действие останется таким же, как от двух точечных зарядов A и B.

Если теперь, сохраняя заземление металлической оболочки, убрать заряд B, то потенциал внутри сферы станет всюду равным нулю, а вне сферы останется неизменным,так как поверхность сферы остаётся по-прежнему при том же потенциале и не происходит никакого изменения в распределении электричества вне сферы.

Таким образом, при помещении электрического заряда A вне сферического проводника, находящегося под нулевым потенциалом, электрическое действие во всех точках вне сферы точно такое же, как от совместного действия заряда A и другого заряда B внутри сферы, который можно назвать электрическим изображением заряда A.

Таким же способом можно показать, что если B - точечный заряд внутри сферической оболочки, то его действие внутри сферы точно такое, как действие двух зарядов - заряда B и его изображения A.

157.Определение электрического изображения. Электрическим изображением называется точечный зарядили система зарядов, расположенные по одну сторону поверхности, которые на другой стороне этой поверхности вызвали бы такое же электрическое действие, какое в действительности вызывает истинное распределение заряда по поверхности.

В оптике точка или система точек по одну сторону от зеркала или линзы, которые испускали бы такую систему лучей, какая существует в действительности по другую сторону линзы, называется мнимым (virtual) изображением.

Электрические изображения соответствуют мнимым изображениям в оптике в дом смысле, что они находятся в пространстве по другую сторону поверхности. Но они не соответствуют им ни по своему действительному положению, ни в том отношении, что оптические фокусы имеют лишь приближённый характер.

Не существует действительных электрических изображений, т. е. таких воображаемых точечных зарядов, которые создали бы с той же стороны от заряженной поверхности действие, эквивалентное действию заряженной поверхности.

Действительно, если потенциал в какой-либо области пространства равен потенциалу, вызываемому определённым распределением заряда в той же области, то он и должен в действительности создаваться этим распределением заряда, так как заряд в любой точке может быть найден по потенциалу вблизи этой точки с помощью уравнения Пуассона.

Пусть a - радиус сферы, f - расстояние точечного заряда A от центра сферы C, e - заряд в точке A.

Тогда изображением является точка B, расположенная на том же радиусе сферы на расстоянии a^2/f от центра, и заряд изображения равен -ea/f [см.рис. 7].

Мы показали, что это изображение вызовет по другую сторону поверхности такой же эффект, что и истинная электризация поверхности. Определим теперь поверхностную плотность этой электризации в произвольной точке P сферической поверхности. Для этого мы используем теорему Кулона, п. 80, о том, что если R - результирующая сила у поверхности проводника, а - поверхностная плотность, то R=4 где R отсчитывается наружу.

Силу R можно рассматривать как результирующую двух сил: отталкивания e/(AP^2), действующего вдоль AP, и притяжения e·(A/f)·[1/(AP^2)], действующего вдоль BP.

Разлагая эти силы по направлениям AC и CP получим, что отталкивание имеет составляющие ef/(AP^3) по AC и ea/(AP^3) по CP, а притяжение -(ea/f)·[1/(BP^3)]·BC по AC и -e(a^2/f)·[1/(BP^3)] по CP.

Но BP=(a/f)·AP, a BC=(a^2/f), так что составляющие притяжения можно записать в виде -ef·[1/(AP^3)] по AC и -e(f^2/a)·[1/(AP^3)] по CP.

Составляющие притяжения и отталкивания по AC равны и противоположны по знаку, так что результирующая сила направлена полностью по радиусу CP. Это лишь подтверждает уже доказанное нами утверждение, что сфера является эквипотенциальной поверхностью, т. е. поверхностью к которой сила всегда перпендикулярна.

Составляющая результирующей силы вдоль CP, т.е. нормали к поверхности в ту сторону, где расположен заряд A равна

R

=

– e

f^2-a^2

a

·

1

AP^3

.

(3)

Если считать A расположенным внутри сферы, то f меньше a и силу R следует отсчитывать внутрь. В этом случае

R

=

– e

a^2-f^2

a

·

1

AP^3

.

(4)

Во всех случаях можно написать

R

=

– e

AD·Ad

CP

·

1

AP^3

,

(5)

где AD и Ad - отрезки любой прямой, проходящей через точку A и пересекающей сферу, а их произведение считается положительным во всех случаях.