Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dl
dc
+
AB
dm
dc
+
1
2
B^2
dn
dc
.
(45)
Поверхностная плотность заряда в любой точке каждой сферы даётся уравнениями (1) и (4) как функция коэффициентов An и Bn.
ГЛАВА X
КОНФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1
1 Это исследование заимствовано главным образом из весьма интересной книги «Lecons sur les Fonctions Inv'erses des Transcendantes et les Surfaces Isolhermes», par G. Lam'e, Paris, 1857.
147. Пусть общее уравнение
x^2
^2-a^2
+
y^2
^2-b^2
+
z^2
^2-c^2
=
1,
(1)
где - переменный параметр, для которого индексом мы будем различать вид поверхности второго порядка, а именно будем писать 1 для двухполостного гиперболоида, 2– для однополостного гиперболоида и 3– для эллипсоида. Величины a, 1, b, 2, c, 3, возрастают в указанном здесь порядке. Величина a введена здесь ради симметрии, в наших окончательных результатах мы будем всегда считать a=0.
Если мы рассмотрим три поверхности с параметрами 1, 2, 3, то из уравнений этих поверхностей найдём, что значение x^2 в точке пересечения удовлетворяет уравнению
x^2
(b^2-a^2)
(c^2-a^2)
=
(
1
^2-a^2)
(
2
^2-a^2)
(
3
^2-a^2)
.
(2)
Значения y^2 и z^2 могут быть найдены симметричной перестановкой a, b, c. Дифференцируя это равенство по 1, получим
dx
d1
=
1
1^2-a
x
.
(3)
Если ds1– длина участка кривой пересечения поверхностей 2 и 3, отсекаемого поверхностями 1 и 1+d1, то
ds1
d1
^2
=
dx
d1
^2
+
dy
d1
^2
+
dz
d1
^2
=
=
1^2(2^2-1^2)(3^2-1^2)
(1^2-a^2)(1^2-b^2)(1^2-c^2)
.
(4)
Знаменатель этой дроби равен произведению квадратов полуосей поверхности 1.
Обозначим
D
1
^2
=
3
^2
–
2
^2
,
D
2
^2
=
3
^2
–
1
^2
,
D
3
^2
=
2
^2
–
1
^2
(5)
и положим a=0. Тогда
ds1
d1
=
D2D3
b^2-1^2c^2-1^2
.
(6)
Легко
видеть, что D2 и D3– полуоси центрального сечения поверхности 1, сопряжённого диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось D3 параллельна ds2, а D2 параллельна ds3.Если, кроме того, мы выразим три параметра 1, 2, 3 через три функции , , , определяемые уравнениями
=
1
0
cd1
(b^2-1^2)(c^2-1^2)
,
=
2
b
cd2
(2^2-b^2)(c^2-2^2)
,
=
3
c
cd3
(3^2-b^2)(3^2-c^2)
,
(7)
то получим
ds
1
=
1
c
D
2
D
3
d
,
ds
2
=
1
c
D
3
D
1
d
,
ds
3
=
1
c
D
1
D
2
d
.
(8)
148. Пусть теперь V - потенциал произвольной точки , , , тогда составляющая результирующей силы в направлении ds1 равна
R
1
=
–
dV
ds1
=
–
dV
d
d
ds1
=
–
dV
d
c
D2D3
.
(9)
Поскольку ds1, ds2, ds3 взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по элементу площади ds2ds3 равен
R
1
ds
2
ds
3
=
–
ds
d1
dV
d
D3D1
c
D1D2
c
d
d
=
=
–
dV
d
D1^2
c
d
d
.
(10)
Рассмотрим теперь элемент объёма, заключённый между поверхностями , , и +d, +d, +d. Таких элементов будет восемь, по одному в каждом октанте пространства.