Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (отсчитываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности поверхностями и +d, и +d.
Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности +d равен
+
dV
d
D1^2
c
d
d
+
d^2V
d^2
D1^2
c
d
d
d
,
поскольку D1 не зависит от Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объёма будет
d^2V
d^2
D1^2
c
d
d
d
.
Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны
d^2V
d^2
D2^2
c
d
d
d
и
d^2V
d^2
D3^2
c
d
d
d
Эти шесть граней ограничивают элемент объёмом
ds
1
ds
2
ds
3
=
D1^2D2^2D3^2
c^3
d
d
d
,
и если - объёмная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдём, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным на 4 количеством электричества на нём равен нулю, т. е., деля на d d d,
d^2V
d^2
D
1
^2
+
d^2V
d^2
D
2
^2
+
d^2V
d^2
D
3
^2
+
4
D1^2D2^2D3^2
c^3
=
0.
(11)
Уравнение (11) представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсоидальных координатах.
При =0 четвёртый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа.
Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдёт в упомянутой выше работе Ламе.
149. Чтобы определить величины , , , мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы , и , где
1
=
b sin
,
(12)
2
=
c^2sin+b^2sin
,
(13)
3
=
b sec
.
(14)
Если положить b=kc и k^2+k'^2=1, то k и k' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим
=
0
d
1-k^2sin^2
(15)
– эллиптический интеграл первого рода, для которого можно воспользоваться обычным обозначением F(k,).
Таким же образом найдём, что
=
0
d
1-k'^2cos^2
=
F(k')
–
F(k',)
,
(16)
где F(k') -
полная функция для модуля k', а=
0
d
1-k^2cos^2
=
F(k)
–
F(k,)
.
(17)
Здесь представлено как функция угла , который, в свою очередь, является функцией от 1, - функция от и, следовательно, от 2, а - функция от и, следовательно, от 3.
Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от , , . Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу.
Легко видеть, что, поскольку параметры - периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от , , . Периоды 1 и 3 равны 4F(k), а период 2 равен 2F(k').
Частные решения
150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если V является линейной функцией от , , . Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними.
Двухполостный гиперболоид
Постоянное соответствует двух полостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности имеет тот же знак, что и x. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист.
Пусть 1 и 2– значения , соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть V1 и V2– значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить
V
=
1V2– 2V1+(V1– V2)
1– 2
,
(18)
то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объёме за поверхностью 1 положить V постоянным и равным V1, а в объёме за поверхностью 2 положить V постоянным и равным V2, то мы получим полное решение для этого частного случая.
Результирующая сила в любой точке обоих листов равна
±R
1
=
–
dV
ds1
=
–
dV
d
d
ds1
,
(19)
или
R
1
=
V1– V2
1– 2
c
D2D3
.
(20)