Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса r, заряжена до потенциала V, а затем соединена с Землёй при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остаётся постоянным и равным V. Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен rV а ток равен -d/dr·(rV). Поскольку значение V поддерживается постоянным, ток равен -dr/dr·V, причём электродвижущая сила, вызывающая ток, равна V.
Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -dr/dr т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.
Таким образом, в
Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [L– 1T]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [T], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [T– 1].
Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.
Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [L– 3MT].
279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [LT– 1].
Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.
Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [L2T– 1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [L– 1T– 1M].
Линейная система проводников в общем случае
280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой n точек A1, A2, …, An, соединённых между собой попарно с помощью n(n-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки Ap и Aq, обозначена через Kpq Ток от точки Ap к точке Aq обозначим через Cpq. Пусть электрические потенциалы в точках Ap и Aq равны Pp и Pq соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки Ap к точке Aq, равна Epq.
Ток от Ap к Aq по закону Ома равен
C
pq
=
K
pq
(P
p
– P
q
+E
pq
)
.
(1)
Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.
Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или
K
pq
=
K
qp
.
(2)
Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.
E
pq
=
–
E
qp
и
C
pq
=
–
C
qp
.
(3)
Пусть P1, P2, …, Pn– значения потенциалов в точках A1, A2, …, An
соответственно, a Q1, Q2, …, Qn– соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»Q
1
+
Q
2
+…+
Q
n
=
0,
(4)
поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.
Условие «непрерывности» в любой точке Ap есть
Q
p
=
C
p1
+
C
p2
+…+ и т.д.
C
pn
.
(5)
Подставляя значение токов из соотношения (1), получим
Q
p
=
(
K
p1
+
K
p2
+ и т.д. +
K
pn
)
P
p
–
–
(
K
p1
P
1
+
K
p2
P
2
+ и т.д. +
K
pn
P
n
)
+
+
(
K
p1
E
p1
+ и т.д. +
K
pn
E
pn
).
(6)
Символ Kpp в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять
K
pp
=-(
K
p1
+
K
p2
+
K
pn
),
(7)
т.е. считать, что величина Kpp равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке Ap Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки Ap в виде
K
p1
P
1
+
K
p2
P
2
+ и т.д. +
K
pp
P
p
+ и т.д. +
K
pn
P
n
=
=
K
p1
E
1
+ и т.д. +
K
pn
E
n
–
Q
p
.
(8)
Полагая в этом уравнении индекс p равным поочерёдно 1,2 и т. д. n, мы получим n уравнений одного и того же вида для определения n потенциалов P1, P2, … Pn.