Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Рис. 23
Площадь этого треугольника ABC равна
dS
=
1
2
r^2
lmn
,
и при уменьшении r эта площадь безгранично уменьшается.
Количество электричества, которое выходит из тетраэдра ABCO через треугольную грань ABC, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани OBC, OCA и OAB.
Площадь треугольника OBC равна r^2/(2mn), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника,
Количества электричества, которые входят через грани OCA и OAB за единицу времени, равны соответственно (r^2v)/(2nl) и (r^2w)/(2lm).
Если составляющую тока в направлении OR обозначить через , то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань ABC, равно (r^2)/(2lmn). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение
1
2
r^2
lmn
=
1
2
r^2
u
mn
+
v
nl
+
w
lm
.
Умножив его (2lmn)/r^2, получаем
=
lu
+
mv
+
nw
.
(1)
Если мы положим
u^2
+
v^2
+
w^2
=
^2
и введём три величины l', m' и n', такие, что
u
=
l'
,
v
=
m'
и
w
=
n'
, то
=
(ll'+mm'+nn')
.
(2)
Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна , а направляющие косинусы равны l', m', n', и если обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол , то
=
cos
.
(3)
Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.
287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение
F
(
x
,
y
,
z
)
=
(4)
определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной Тогда, если положить
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
=
1
N^2
,
(5)
то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста , равны
l
=
N
d
dx
,
m
=
N
d
dy
,
n
=
N
d
dz
.
(6)
Следовательно,
если есть компонента тока, нормальная к поверхности, то=
N
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
.
(7)
При =0 ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности.
288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
=
0.
(8)
Если это уравнение соблюдается для всех значений , то все поверхности семейства являются поверхностями потока.
289. Предположим, что имеется другое семейство поверхностей с параметром '. Тогда, если поверхности этого семейства также являются поверхностями потока, мы получим
u
d'
dx
+
v
d'
dy
+
w
d'
dz
=
0.
(9)
Если имеется ещё и третье семейство поверхностей потока, отвечающее параметру '', то
u
d''
dx
+
v
d''
dy
+
w
d''
dz
=
0.
(10)
Исключая из этих трёх уравнений u, v и u, мы получим
d
dx
,
d
dy
,
d
dz
d'
dx
,
d'
dy
,
d'
dz
=
0,
d''
dx
,
d''
dy
,
d''
dz
(11)
''
=
(,')
,
(12)
т.е. '' есть некоторая функция от и '.
290. Рассмотрим теперь четыре поверхности, параметры которых равны , + и ' '+'. Эти четыре поверхности ограничивают некоторую четырехстороннюю трубку, которую мы можем назвать трубкой ·' Поскольку эта трубка ограничена поверхностями, через которые нет потока, мы можем назвать её Трубкой Тока. Если мы возьмём любые два поперечных сечения этой трубки, то количество потока, входящее в трубку через одно сечение, должно равняться количеству потока, которое выходит из трубки через другое сечение, и, поскольку это количество будет, таким образом, одно и то же для любого сечения трубки, обозначим его через L·', где L является функцией параметров и ', определяющих рассматриваемую трубку.
291. Если S обозначает площадь сечения трубки потока плоскостью, нормальной к оси x, то теория замены независимых переменных даёт
·'
=
S
d
dy
·
d'
dz
–
d
dz
·
d'
dy
,
(13)
и, по определению составляющих тока, имеем
udS
=
L'
.
(14)