Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
(a++)
x
–
y
–
z
=E,
–
x
+(b++)
y
–
z
=0,
–
x
–
y
+(c++)
z
=0.
Из этих уравнений мы можем определить величину z-y, ток, текущий через гальванометр в ответвлении OA. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.
Тепло, производимое в системе
283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением R при протекании тока C
JH
=
RC^2
.
(13)
Нам, следовательно, нужно определить сумму величин RC^2 для всех проводников системы.
Проводник, соединяющий точки Ap и Aq имеет проводимость Kpq и сопротивление Rpq, причём
K
pq
R
pq
=
1.
(14)
Ток в этом проводнике по закону Ома равен
C
pq
=
K
pq
(P
p
– P
q
)
.
(15)
Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно Xpq, где
X
pq
=
C
pq
Y
pq
.
(16)
Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида RpqX^2pq или
JH
=
{
R
pq
C^2
pq
+
2R
pq
C
pq
Y
pq
+
R
pq
Y^2
pq
}
(17)
Внося значения Cpq и помня соотношение между Kpq и Rpq, получаем
[
(P
p
– P
q
)
(C
pq
+2Y
pq
)
+
R
pq
Y^2
pq
].
(18)
Теперь, поскольку и величины C и величины Y должны удовлетворять условию непрерывности в точке Ap, мы имеем
Q
p
=
C
p1
+
C
p2
+ и т.д. +
C
pn
,
(19)
Q
p
=
X
p1
+
X
p2
+ и т.д. +
X
pn
,
(20)
и, следовательно,
0
=
Y
p1
+
Y
p2
+
и т.д. +Y
pn
.
(21)
Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим
(
R
pq
X^2
pq
)
=
P
p
Q
p
+
R
pq
X^2
pq
.
(22)
Поскольку величины R всегда положительны и величины Y^2 существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина Y в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.
Отсюда вытекает следующая теорема:
284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.
Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине PpQq сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI
Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.
Пусть потенциал одной из точек, скажем точки An принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку As притекает количество электричества Qs потенциал в точке Ap равен -(Dps/D)Qs.
Величины D и Dps могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -D равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (n-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина Dps равна сумме произведений, составленных каждое из (n-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей ApAn или AsAn, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей ApAn или AsAn замкнутые контуры.
Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила Eqr, действующая в разветвлении AqAr действует так же, как и источник тока величины KqrEqr, расположенный в точке R, и сток той же величины, расположенный в точке Q, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила Epq действует вдоль проводника ApAq, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике ArAs, равна