Трактат об электричестве и магнетизме

Отсюда

u

=

L

d

dy

·

d'

dz

–

d

dz

·

d'

dy

.

Аналогично

v

=

L

d

dz

·

d'

dx

–

d

dx

·

d'

dz

,

w

=

L

d

dx

·

d'

dy

–

d

dy

·

d'

dx

.

(15)

292. Если известна одна из функций или ', то всегда возможно определить другую таким образом, чтобы величина L равнялась единице. Например, возьмём плоскость yz и проведём на ней ряд равноотстоящих линий, параллельных оси y Пусть эти линии представляют собой линии пересечения плоскости yz с семейством поверхностей '. Другими словами, пусть функция ' определяется условием, что '=z при y=0. Если положить теперь L=1 и, следовательно (при x=0), =udy, то количество электричества, проходящее через любую часть плоскости x=0, будет равно

udy

dz

=

d

d'

.

(16)

Коль скоро задан характер пересечения поверхностей тока с плоскостью yz, форма этих поверхностей в пространстве всюду определяется условиями (8) и (9). Определённые так две функции и ' достаточны для определения тока в любой точке с помощью соотношений (15), где величину L следует положить равной единице.

О линиях потока

293. Выберем последовательности значений и ' так, что в обеих этих последовательностях соседние значения отстоят друг от друга на единицу. Две системы поверхностей, отвечающие этим наборам значений и ', разделят пространство на систему трубок с четырехсторонним сечением, по каждой из которых будет протекать единичный ток. Считая эту единицу достаточно малой, можно определить все детали распределения тока с любой желаемой степенью точности. Тогда, если провести любую поверхность, пересекающую систему трубок, величина тока, проходящего через эту поверхность, будет выражаться числом трубок, пересекающих поверхность, поскольку по каждой трубке идёт единичный ток.

Пересечения поверхностей тока могут быть названы линиями потока. Если единица выбрана достаточно малой, число линий потока, пересекающих некоторую поверхность, примерно равно числу пересекающих её потоковых трубок, и мы, таким образом, можем рассматривать линии потока как определяющие не только направление тока, но также и его силу, поскольку каждая линия потока, пересекающая данную поверхность, соответствует единичному току.

О токовых листах и токовых функциях

294. Слой проводника, заключённого между двумя соседними поверхностями тока некоторой системы, скажем системы ', называется токовым листом. Трубки тока внутри этого слоя определяются функцией . Если значения в точках A и P обозначить соответственно через _A и _P, тогда ток, текущий справа налево через любую линию, проведённую на листе от A к P, равен _P– _A. Если AP есть некоторый элемент ds кривой, проведённой на листе, ток, пересекающий этот элемент справа налево, равен (d/ds)ds Эта функция , которая позволяет полностью определить распределение тока в слое, называется Токовой функцией.

Любой тонкий лист металла или проводящего вещества, ограниченный с двух сторон воздухом или некоторой другой непроводящей средой, может рассматриваться как токовый лист, в котором распределение тока может быть выражено с помощью токовой функции (см. п. 647).

Уравнение непрерывности

295. Если продифференцировать каждое из трёх уравнений (15) соответственно по x, y, z имея при этом в виду, что L является функцией от , и ', найдём

du

dx

+

dv

dy

+

dw

dz

=

0.

(17)

Соответствующее уравнение в гидродинамике называется Уравнением «Непрерывности». Та непрерывность, которую оно выражает, есть непрерывность существования, т. е. это означает, что материальное вещество не может покинуть одну часть пространства и появиться в другой, не проходя через пространство между ними. Оно не может просто исчезнуть в одном месте и появиться в другом, а должно пройти по некоторому непрерывному пути, так что, если провести замкнутую поверхность, включающую одно местоположение и исключающую другое, материальное вещество, переходя из этого одного положения в другое, должно пройти через эту замкнутую поверхность. Наиболее общей формой этого уравнения в гидродинамике является уравнение

d(u)

dx

+

d(v)

dy

+

d(w)

dz

+

d

dt

=

0,

(18)

где обозначает отношение количества вещества к занимаемому объёму (в данном случае рассматривается дифференциальный элемент объёма), а величины (u), (v), (w) - отношения количества вещества, пересекающего в единицу времени элемент поверхности, к площади этого элемента, при этом элемент площади выбирается перпендикулярно к осям x, y и z соответственно. Имея это в виду, уравнение можно применять к любой материальной среде, твёрдой или жидкой, для непрерывного или разрывного движения при условии, что существование отдельных частей этой среды является непрерывным. Если что бы то ни было, пускай и не вещество, подчиняется условию непрерывного существования во времени и пространстве, указанное уравнение будет выражать это условие.

Уравнения подобного вида возникают в других разделах Физического Учения, например в теории электрических и магнитных величин. Мы будем называть такие уравнения «уравнениями непрерывности», указывая на их форму, хотя мы можем и не придавать входящим в эти уравнения величинам свойства вещества, или даже непрерывное существование во времени и пространстве.

Уравнение (17), к которому мы пришли в случае электрических токов, тождественно с (18), если мы положим =1, т. е. если мы предположим, что соответствующее вещество является однородным и несжимаемым. Для случая жидкости это уравнение также может быть установлено любым из способов, приводимых в трактатах по гидродинамике. В одном случае мы следим за движением и деформацией некоторого выбранного элемента жидкости по мере его перемещения. В другом случае мы фиксируем наше внимание на некотором элементе пространства и учитываем всё, что втекает в этот элемент и вытекает из него.

Первый из этих двух методов не может быть применён к электрическим токам, потому что мы не знаем, с какой скоростью электричество проходит через тело, и даже не знаем, движется оно в положительном или отрицательном направлении тока. Всё, что мы знаем - это алгебраическое значение величины количества электричества, которое пересекает единицу площади за единицу времени,- величины, соответствующей (u) в уравнении (18). Мы не можем приписать определённого значения какому-либо из множителей или u, и поэтому мы не можем следовать за какой-либо отдельной порцией электричества на её пути через тело. Другой метод исследования, где мы рассматриваем то, что проходит через стенки некоторого элемента объёма, применим к электрическим токам и, по-видимому, является формально предпочтительным по сравнению с тем, который приведён нами, но нам нет нужды его здесь повторять, поскольку он излагается в любом трактате по гидродинамике.

Количество электричества, которое проходит через данную поверхность

296. Пусть результирующий ток в любой точке данной поверхности равен . Элемент поверхности обозначим через dS а угол между током и внешней нормалью к поверхности обозначим через . Тогда полный ток через поверхность будет равен

=

cos dS

,

где интегрирование проводится по поверхности.

В случае произвольной замкнутой поверхности мы можем, как и в п. 21, преобразовать этот интеграл к виду