Чтение онлайн

ЖАНРЫ

Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:

Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно n-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.

Если мы обозначим через D определитель

K

11

,

K

12

,

…,

K

1(n-1)

,

,

K

21

,

K

22

,

…,

K

2(n-1)

,

…,

…,

…,

…,

K

(n-1)1

,

K

(n-1)2

,

…,

K

(n-1)(n-1)

,

(9)

а

через Dpq– минор элемента Kpq, мы получим для величины Pp– Pn выражение

(P

p

– P

n

)D

=

(K

12

E

12

+ и т.д.
– Q

1

)D

p1

+

+

(K

21

E

21

+ и т.д.
– Q

2

)D

p2

+ и т.д. +

+

(K

q1

E

q1

+ и т.д. +K

qn

E

qn

– Q

q

)D

pq

+ и т.д.

(10)

Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем Aq, над потенциалом точки An. После этого мы можем определить ток между точками Ap и Aq из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.

281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.

В выражении для потенциала Pp коэффициент при Qq равен -Dpq/D. В выражении для Pq коэффициент при Qp равен -Dqp/D.

Но величина Dpq отличается от Dqp только заменой символов, при которой все Kqp переходят в Kpq. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому

D

pq

=

D

qp

.

(11)

Отсюда следует, что та часть потенциала в точке Ap которая обусловлена введением единичного тока в точку Aq, равна той части потенциала в точке Aq, которая обусловлена введением одиночного тока в точку Ap.

Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.

Пусть A, B, C, D - любые четыре точки системы, и пусть ток Q входит в систему через точку A и выходит через точку B, создавая превышение потенциала в точке C над потенциалом в точке D на величину P. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток Q будет входить в систему

через точку C и выходить через точку D, то потенциал в точке A будет превышать потенциал в точке B на ту же самую величину P.

Если ввести электродвижущую силу E, действующую на проводник от A к B, и если эта электродвижущая сила вызывает ток C от X к Y, то та же самая электродвижущая сила E, введённая в проводник в направлении от X к Y, вызовет точно такой же ток C от A к B.

Источником электродвижущей силы E может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.

282 а. Если электродвижущая сила Epq действует вдоль проводника ApAq, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы ApAs:

K

rs

K

pq

E

rs

(

D

rp

+

D

sq

D

rp

D

sp

)/

D

.

Ток равен нулю, если

D

rp

+

D

sq

D

rp

D

sp

=

0.

(12)

Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль ArAs ток в проводнике ApAq равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.

Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.

1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.

Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.

282 б1. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть x - величина тока, E - электродвижущая сила и R - полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, y, z, … - токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток x. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через s, t, …. Тогда

Rx

sy

tz

– и т.д. =

E

.

1 Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).

Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров OBC, OCA и OAB в которых циркулируют токи x, y, z соответственно, мы получим три уравнения, а именно

Поделиться с друзьями: