Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
cos dS
=
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
dx
dy
dz
,
причём тройное интегрирование проводится по объёму, ограниченному этой поверхностью. Эта формула даёт выражение для полного потока, вытекающего из замкнутой поверхности. Поскольку во всех случаях стационарных токов эта величина должна быть равна нулю при любых пределах интегрирования, величина под знаком интеграла должна обратиться в нуль, и мы получаем таким путём уравнение непрерывности (17).
ГЛАВА VIII
О наиболее общих соотношениях между током и электродвижущей силой
297. Обозначим составляющие тока в любой точке через u, v, w. Составляющие электродвижущей напряжённости обозначим через X, Y, Z.
Электродвижущая напряжённость в любой точке есть результирующая сила, действующая на единицу положительного электричества, помещённую в этой точке. Электродвижущая напряжённость может возникать: (1) от действия электростатических сил. В этом случае, если V - потенциал, то
X
=-
dV
dx
,
Y
=-
dV
dy
,
Z
=-
dV
dz
;
(1)
или (2) из-за электромагнитной индукции, законы которой мы рассмотрим позднее; или (3) из-за термоэлектрического или электрохимического действия в рассматриваемой точке, вызывающих ток в данном направлении.
Мы будем, как правило, предполагать, что величины X, Y, Z являются составляющими электродвижущей напряжённости, действующей в данной точке, каково бы ни было происхождение этой силы, однако иногда мы будем рассматривать следствия из предположения, по которому электродвижущая напряжённость целиком обусловлена изменением потенциала.
По Закону Ома ток пропорционален электродвижущей напряжённости. Следовательно, X, Y, Z должны быть линейными функциями от u, v, w Мы, таким образом, можем принять в качестве Уравнений Сопротивления
X
=
R
1
u
+
Q
3
v
+
P
2
w
Y
=
P
3
u
+
R
2
v
+
Q
1
w
Z
=
Q
2
u
+
P
1
v
+
R
3
w
(2)
Мы можем назвать коэффициенты R коэффициентами продольного сопротивления в направлениях координатных осей.
Коэффициенты P и Q могут быть названы коэффициентами поперечного сопротивления. Они определяют электродвижущую напряжённость, действующую в одном каком-нибудь направлении, необходимую для того, чтобы создать ток, текущий в другом направлении.
Если бы мы были свободны предположить, что твёрдое тело может рассматриваться как совокупность линейных проводников, то, используя свойство взаимности двух любых проводников в линейной системе (п. 281), мы могли бы показать, что электродвижущая сила, направленная вдоль оси z и создающая единичный ток, направленный вдоль оси y, должна равняться электродвижущей силе, действующей вдоль оси y и создающей единичный ток вдоль оси z Это означало бы, что P1=Q1. Подобным же образом мы получили бы P2=Q2 и P3=Q3.
Если эти условия выполняются, то говорят, что система коэффициентов является Симметричной. Если они не выполняются, система называется Косой (Skew).Имеется серьёзная причина полагать, что в любом реальном случае система коэффициентов является симметричной, но мы в дальнейшем рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из предположения о возможной несимметричности коэффициентов.
298. Величины u, v, w могут быть выражены как линейные функции составляющих X, Y, Z с помощью системы уравнений, которую мы можем назвать Уравнениями Проводимости:
u
=
r
1
X
+
p
3
Y
+
q
2
Z
,
v
=
q
3
X
+
r
2
Y
+
p
1
Z
,
w
=
p
2
X
+
q
1
Y
+
r
3
Z
.
(3)
Коэффициенты r можно назвать коэффициентами Продольной проводимости, а коэффициенты p и q - коэффициентами Поперечной проводимости.
Коэффициенты сопротивления обратны коэффициентам проводимости. Эту связь можно определить следующим образом.
Обозначим определитель, составленный из коэффициентов сопротивления, через [PQR], а определитель, составленный из коэффициентов проводимости, - через [pqr]. Тогда
[PQR]
=
P
1
P
2
P
3
+
Q
1
Q
2
Q
3
+
R
1
R
2
R
3
–
R
1
Q
1
R
1
–
–
P
2
Q
2
R
2
–
P
3
Q
3
R
3
,
(4)
[pqr]
=
p
1
p
2
p
3
+
q
1
q
2
q
3
+
r
1
r
2
r
3
–
p
1
q
1
r
1
–
p
2
q
2
r
2