Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
(14)
должны все быть положительны.
Сходные соотношения имеют место и для коэффициентов проводимости.
Уравнения непрерывности в однородной среде
301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала V, уравнение непрерывности
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
0
(15)
в однородной среде примет форму
r
1
d^2V
dx^2
+
r
2
d^2V
dy^2
+
r
3
d^2V
dz^2
+
+
2s
1
d^2V
dydz
+
2s
2
d^2V
dzdx
+
2s
3
d^2V
dxdy
=
0.
(16)
Если
Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.
302. Если положить
[rs]
=
r
1
r
2
r
3
+
2s
1
s
2
s
3
–
r
1
s
1
^2
–
r
2
s
2
^2
–
r
3
s
3
^2
,
(17)
и
[AB]
=
A
1
A
2
A
3
+
2B
1
B
2
B
3
–
A
1
B
1
^2
–
A
2
B
2
^2
–
A
3
B
3
^2
,
(18)
где
[rs]
A
1
=
r
2
r
3
– s
1
^2
,
[rs]
B
1
=
s
2
s
3
– r
1
s
1
,
…
…
…
(19)
и т.д., то система A,B будет обратна системе r,s, и, если обозначим
A
1
x^2
+
A
2
y^2
+
A
3
z^2
+
2B
1
yz
+
2B
2
zx
+
2B
3
xy
=
[AB]
^2
,
(20)
мы найдём, что выражение
V
=
C
4
·
1
(21)
является
решением этого уравнения.В случае, когда коэффициенты T равны нулю, коэффициенты A и B совпадают с коэффициентами R и S из п. 299. При наличии T этого не происходит.
Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.
Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси x, y, z главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм s и B обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы A будет обратен соответствующему коэффициенту формы r. Выражение для будет
x^2
r1
+
y^2
r2
+
z^2
r3
=
^2
r1r2r3
.
(22)
303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики 2. Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.
2 Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.
Коэффициенты T1, T2, T3 могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора T, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин t1, t2, t3, которые являются составляющими другого вектора t.
Векторы T и t вообще говоря, не совпадают по направлению.
Выберем теперь ось z так, чтобы она совпадала с вектором T, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму
X
=
R
1
u
+
S
3
v
+
S
2
w
–
Tv
,
Y
=
S
3
u
+
R
2
v
+
S
1
w
+
Tv
,
Z
=
S
2
u
+
S
1
v
+
R
3
w
.
(23)
Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов R и S, а вторая - только от T. Часть, зависящая от R и S, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от T, равна по величине произведению T на слагающую тока, перпендикулярную к оси T, и направлена перпендикулярно к T и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси T.