Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dz
^2
dx
dy
dz
.
(21)
Если заряд распределён лишь на поверхностях проводников, то =0 и второй член слева в (20) отсутствует.
Первый член слева выражает, как и в п. 84, энергию заряженной системы через заряды и потенциалы проводников, мы обозначаем это выражение через W.
99 б. Пусть - функция от x, y, z, удовлетворяющая тому условию, что на замкнутой поверхности s она принимает во всех точках известные значения . Значения в точках вне поверхности s совершенно произвольны.
Напишем интеграл
W
=
1
8
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
dx
dy
dz
,
(22)
где
^2
1
=
0
(23)
во всех точках внутри поверхности, то значение W1 интеграла W, вычисленное для W1, меньше, чем для любой другой функции, отличающейся от W1 хотя бы в одной точке внутри поверхности.
Действительно, пусть - любая функция, совпадающая с 1 на поверхности, но не совпадающая всюду внутри поверхности, и положим
=
1
+
2
.
(24)
Тогда 2 обращается в нуль во всех точках поверхности.
Значение W для равно, очевидно,
W
=
W
1
+
W
2
+
+
1
4
d1
dx
d2
dx
+
d1
dy
d2
dy
+
d1
dz
d2
dz
dx
dy
dz
.
(25)
По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде
1
4
2
^2
1
d
–
1
4
2
d1
d
ds
.
(26)
Объёмный интеграл обращается в нуль, так как ^21=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности 2=0. Таким образом, уравнение (25) принимает вид
W
=
W
1
+
W
2
.
(27)
Но подынтегральное выражение в интеграле W2 представляет собой сумму трёх квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулём. Итак, если W2
не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, W больше W1. Если W2 равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (d2/dx)=0, (d2/dy)=0, (d2/dz)=0 во всех точках внутри поверхности, а 2 постоянно внутри поверхности. Но на поверхности 2=0, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. =1, так что, если W не больше W1, то должно совпадать с 1 во всех точках внутри поверхности.Отсюда следует, что 1– единственная функция от x, y, z, равная на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.
Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция 3, то W3 должно было бы быть меньше любого другого значения W. Но мы уже показали, что W1 меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше W3. Следовательно, никакая функция, отличная от 1, не может удовлетворять этим условиям.
Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью s и некоторым числом внутренних поверхностей s1, s2 и т. д., причём принимает нулевое значение на s и постоянные на каждой поверхности значения: 1 на s1, 2 на s2 и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.
Из всех функций , удовлетворяющих этим условиям, W минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ^2=0.
Теорема Томсона
Лемма
100 а. Пусть - произвольная функция x, y, z, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности s и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях s1, s2, …, sp, … значения 1, 2, …, p, …, постоянные на каждой поверхности.
Пусть u, v, w - функции x, y, z, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора C, удовлетворяющего условию соленоидальности
– S.C
=
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
0.
(28)
Положим в Теореме III
X
=
u
,
Y
=
v
,
Z
=
w
.
(29)
В результате этих подстановок получим
p
p
(
l
p
u
+
m
p
v
+
n
p
w
)
ds
p
+
+
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
dx
dy
dz
+
+
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
=