Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
+
A
+
A
1
x
+
A
2
x
2
+…+
A
m
x
m
(15)
Таким образом, если ограничиться коэффициентами от A1 до Am и от B1 до Bn, то у нас есть m+n уравнений для выражения этих величин через заряды обеих сфер A и B, а подставляя значения этих коэффициентов в (14) и (15), мы можем выразить потенциалы
Эти операции можно произвести с помощью определителей, но с вычислительной точки зрения удобнее действовать следующим образом.
Подставив в уравнение (12) значения B1, …, Bn из уравнений (13), мы получим
A
1
=
–
Bx
2
+
+
Ax
2
y
3
[
2·1
+
3·1y
2
+
4·1y
4
+
5·1y
6
+
6·1y
8
+…
]
+
+
A
1
x
3
y
3
[
2·2
+
3·3y
2
+
4·4y
4
+
5·5y
6
+…
]
+
+
A
2
x
4
y
3
[
2·3
+
3·6y
2
+
4·10y
4
+…
]
+
+
A
3
x
5
y
3
[
2·4
+
3·10y
2
+…
]
+
+
A
4
x
6
y
3
[
2·5
+…
]
+
…;
(16)
A
2
=
–
Bx
3
+
+
Ax
3
y
3
[
3·1
+
6·1y
2
+
10·1y
4
+
15·1y
6
+…
]
+
+
A
1
x
4
y
3
[
3·2
+
6·3y
2
+
10·4y
4
+…
]
+
+
A
2
x
5
y
3
[
3·3
+
6·6y
2
+…
]
+
+
A
3
x
6
y
3
[
3·4
+…
]
+
…;
(17)
A
3
=
–
Bx
4
+
+
Ax
4
y
3
[
4·1
+
10·1y
2
+
20·1y
4
+…
]
+
+
A
1
x
5
y
3
[
4·2
+
10·3y
2
+…
]
+
+
A
2
x
6
y
3
[
4·3
+…
]
+
…;
(18)
A
4
=
–
Bx
5
+
+
Ax
5
y
3
[
5·1
+
15·1y
2
+…
]
+
+
A
1
x
6
y
3
[
5·2
+…
]
+
…;
(19)
Подставляя
в правые части этих равенств приближённые значения A1 и т. д. и повторяя этот процесс для высших приближений, мы можем довести приближение для коэффициента до любой степени по восходящим степеням и произведениям x и y. Если положитьA
n
=
p
n
A
+
q
n
B
,
B
n
=
–
r
n
A
+
s
n
B
,
то
p
1
=
x
3
y
3
[
2
+
3y
2
+
4y
4
+
5y
6
+
6y
8
+
7y
10
+
8y
12
+
+
9y
14
+…
]
+
+
x
5
y
6
[
8
+
30y
2
+
75y
4
+
154y