Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
308. Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса a, когда его конец находится в металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла.
Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода
Если E - разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, C - ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ' - удельное сопротивление электрода и если Q - количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен
'C
=
1
4
4Q
=
2
aE
(/2)
, в силу п. 151,
=
4aE.
(18)
Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна L и его удельное сопротивление равно , то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой
R
=
L
a^2
+
4a
,
и это можно записать так:
R
=
a^2
L
+
'
·
a
4
,
(19)
где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.
Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.
309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.
Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно C/(a^2), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда , где
2
=
C'
a^2
,
(20)
а ' - удельное сопротивление.
Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью .
Потенциал 5 на краю диска с однородной плотностью легко определяется и равен 4a. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной da вдоль окружности диска, равна 2ada·4a, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,
или P
=
8
3
a^3
^2
.
(21)
5
См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением R' равна CR'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/')(dV/d) или (2/').
–
1
'
dV
d
или
2
'
.
Если V - потенциал на диске, а ds - элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна
=
C
a^2
V
ds
=
2C
a^2
P
, поскольку P
=
1
2
V
ds
,
=
4
'
P (по формуле(20))
.
Таким образом, мы получаем
C^2
R'
=
4
'
P
,
(22)
откуда с учётом (20) и (21)
R'
=
8'
3^2a
,
и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна
'
8
3
a
,
причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна ('/)an, где n - число, лежащее между /4 и 8/3 или между 0,785 и 0,849.
Лорд Рэлей 6 во втором приближении уменьшил верхний предел для n до 0,8282.
6Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).
ГЛАВА IX
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами
310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.
На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.