Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.
Таким образом, если V1 и V2 обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела
V
1
=
V
2
,
(1)
и если u1, v1, w1 и u2, v2, w2–
u
1
l
+
v
1
m
+
w
1
n
=
u
2
l
+
v
2
m
+
w
2
n
.
(2)
В самом общем случае составляющие u, v, w являются линейными функциями производных потенциала V; вид этих линейных функций определяется уравнениями
u
=
r
1
X
+
p
3
Y
+
q
2
Z
,
v
=
q
3
X
+
r
2
Y
+
p
1
Z
,
w
=
p
2
X
+
q
1
Y
+
r
3
Z
,
(3)
где X, Y, Z - производные функции V соответственно по x, y, z.
Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный r.
Обозначим значения X, Y, Z в изотропной среде через X', Y', Z' тогда на поверхности имеем
V
=
V'
,
(4)
или
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
=
X'dx
+
Y'dy
+
Z'dz
,
(5)
если
ldx
+
mdy
+
ndz
=
0.
(6)
Это условие приводит к
X'
=
X
+
4l
,
Y'
=
Y
+
4m
,
Z'
=
Z
+
4n
,
(7)
где - поверхностная плотность.
В изотропной среде имеем также
u'
=
rX'
,
v'
=
rY'
,
w'
=
rZ'
,
(8)
и условие на границе для тока таково:
u'l
+
v'm
+
w'n
=
ul
+
vm
+
wn
,
(9)
или
r
(
lX
+
mY
+
nZ
+
4
)
=
l
(
r
1
X
+
p
3
Y
+
q
2
Z
)
+
+
m
(
q
3
X
+
r
2
Y
+
p
1
Z
)
+
n
(
p
2
X
+
q
1
Y
+
r
3
Z
)
,
(10)
откуда
4r
=
{
l(r
1
– r)
+
mq
3
+
np
2
}
X
+
{
lp
3
+
m(r
2
– r)
+
nq
1
}
Y
+
+
{
lq
2
+
mp
1
+
n(r
3
– r)
}
Z
.
(11)
Величина
а представляет собой поверхностную плотность заряда на поверхности раздела. В кристаллизованных и упорядоченных веществах эта величина зависит от направления поверхности, а так же и от перпендикулярной к ней силы. В изотропных веществах коэффициенты p и q равны нулю, а все коэффициенты r равны между собой, и, таким образом,4
=
r1
r
– 1
(
lX
+
mY
+
nZ
).
(12)
где r1– проводимость рассматриваемого вещества, r - проводимость внешней среды, а l, m, n, - направляющие косинусы нормали, проведённой в ту среду, проводимость которой равна r.
В случае, когда обе среды изотропны, эти условия можно значительно упростить, ибо если k есть удельное сопротивление единицы объёма, то
u
=-
1
k
dV
dx
,
v
=-
1
k
dV
dy
,
w
=-
1
k
dV
dz
,
(13)
и если v есть нормаль, проведённая из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть
1
dV
1
=
1