Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
0;
(30)
где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а lp, mp, np– направляющие косинусы нормали к поверхности sp в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности u, v, w, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях:
1) если для любой точки поверхности =0,
2) если для любой точки поверхности lu + mv + nw =0,
3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),
4) если постоянно
В этих четырёх случаях объёмный интеграл
M
=
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
=
0.
(31)
100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью s и внутренними замкнутыми поверхностями s1, s2, ….
Пусть - функция x, y, z конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа
^2
=
0.
(32)
имеющая постоянные, но не заданные значения 1, 2, … соответственно на поверхностях s1, s2, … и нулевое значение на внешней поверхности s.
Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем s1, даётся поверхностным интегралом
e
1
=-
1
4
d
d1
ds
1
,
(33)
где нормаль 1 направлена от поверхности s1 в сторону электрического поля.
100 в. Пусть теперь f, g, h - функции x, y, z, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора D, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
=
0,
(34)
и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем s1 интеграл типа
(
l
1
f
+
m
1
g
+
n
1
h
)
ds
=
e
1
,
(35)
где l1, m1, n1, - направляющие косинусы нормали 1 к поверхности s1, в сторону электрического поля, а e1– та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью s1.
Рассмотрим объёмный интеграл
W
D
=
2
(
f^2
+
g^2
+
h^2
)
dx
dy
dz
(36)
по всему полю внутри s и вне s1, s2, …
и сравним его с интеграломW
=
1
8
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
dx
dy
dz
(37)
по тому же объёму.
Положим
u
=
f
+
1
4
d
dx
,
v
=
g
+
1
4
d
dy
,
w
=
h
+
1
4
d
dz
(38)
и введём
W
C
=
2
(
u^2
+
v^2
+
w^2
)
dx
dy
dz
.
(39)
Тогда, поскольку
f^2
+
g^2
+
h^2
=
1
16^2
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
+
u^2
+
v^2
+
w^2
–
1
2
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
,
(40)
то
W
D
=
W
+
W
C
–
–
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
.
Но, во-первых, u, v, w, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
–
1
4
^2
,
(41)
a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.
Во-вторых, имеет место равенство
(
l
1
u
+
m
1
v
+
n
1
w
)
ds
1
=
=
(
l
1
f
+
m