Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные - кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы.
Обозначим функцию Грина через Gpp', где индекс p указывает точку с координатами x, y, z, а индекс p' - точку с координатами x', y', z'.
Если заряд A0 помещён в точку p', то, считая x', y', z' постоянными, мы можем рассматривать Gpp' как функцию от x, y, z. Потенциал, создаваемый
=
A
0
G
pp'
.
(1)
Если бы заряд A0 находился не в точке p', а был равномерно распределён по сфере радиуса a с центром в точке p', то значение в точках вне сферы осталось бы таким же.
При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам
4a^2
=
A
0
+
3A
1
i
1
+…+
(2n-1)
3A
n
Y
n
+…
,
(2)
что всегда можно сделать.
Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом
4a^2
=
(2n+1)
A
n
Y
n
,
(3)
равен
rn
an+1
A
n
Y
n
в точках внутри сферы и
an
rn+1
A
n
Y
n
в точках вне сферы.
Последнее выражение, согласно (13), (14) из п. 129 в и 129 г, равно
(-1)
n
A
n
an
n!
dn
dh1…dhn
1
r
,
т.е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда на поверхности сферы, такой же, как от определённой кратной точки с осями h1,…,hn, и моментом Anan. Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой кратной точки.
Таким образом, потенциал в точке p с координатами x, y, z, обусловленный наведённым электричеством на окружающих телах, равен
n
=
(-1)
n
A
n
dn
d'h1d'h2…d'hn
G
,
(4)
где штрихи при d показывают, что дифференцирование производится по x', y', z'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.
Удобно считать Yn
разбитым на 2n+1 составляющих симметричной системы. Пусть AnYn– одна из этих составляющих. Тогдаdn
d'h1…d'hn
=
D'
n
.
(5)
Здесь не нужно ставить индекс s или c, указывающий, какая из функций, sin или cos , входит в гармонику.
Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала , возникающего из-за наведённого заряда:
=
A
0
G
+
(-1)
n
A
n
an
n!
D'
n
G
.
(6)
Но на сфере потенциал постоянен, т. е.
+
1
a
A
0
+
rn1
an1+1
A
(1)
n1
Y
(1)
n1
=
const.
(7)
Применим теперь к этому выражению операцию Dn, где дифференцирование производится по x, y, z, а значения n и независимы от n и . В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с Vn и мы получаем
– 2
(n1+1)!(n1– 1)!
22n1!
1
an1+1
A
(1)
n1
=
=
A
0
D
(1)
n1
G
+
(-1)
n
A
n
an
n!
D
(1)
n1
D'
n
G
.
(8)
Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит A0 заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.
Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении
A
(1)
n1
=
–
1
2
22n1!
(n1+1)!(n1– 1)!
A
0
a
n1+1
D
n
G
.
(9)
Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через b, то