Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
140 б. Численное значение Y принятое в этой книге, получается дифференцированием r– 1 по n осям и делением на n!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей - синуса или косинуса от , , функции от , (или от и ) и численного коэффициента.
Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение на ряд по убывающим степеням , первый член которого равен n-, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через .
Функция,
(n)
=
– 1
/2
P
(n)
.
(75)
Ряд по убывающим степеням , начинающийся с n-, обозначен Хайне символом P(n) а Тодхантером - символом (,n).
Этот ряд можно представить в двух других видах:
P
(n)
=
(,n)
=
(n-)!
(2n)!
dn+
dn+
(^2-1)
n
=
2n(n-)!n!
(2n)!
d
d
P
n
.
(76)
Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по , по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения T(n) принятого Феррерсом, который определяет его так:
T
(n)
=
d
d
P
n
=
(2n)!
2n(n-)!n!
(n)
.
(77)
Если эту же величину представить как однородную функцию от и и поделить на коэффициент перед n-n, получится функция, обозначенная нами через (n).
140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.
Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение n-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют n широтным параллелям на сфере.
Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.
Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.
Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причём одна функция в паре содержит косинус, а другая - синус от . Поэтому они обращаются в нуль на меридианных кругах на сфере, а также на n- параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2(n--1) четырехугольников
или «тессер», считая в том числе 4 треугольников у полюсов. Поэтому они полезны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями.Все эти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на 2n меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2n секторов. Эти две гармоники называются Секторными.
141. Найдём теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдём от поверхностной гармоники Yn к пространственной гармонике положительной степени, умножив её на rn продифференцируем эту пространственную гармонику по n осям самой этой гармоники, а затем положим x=y=z=0 и умножим результат на
4a^2
n!(2n+1)
.
Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так:
(Y
n
)^2
ds
=
4a^2
n!(2n+1)
D
n
(
r
n
Y
n
).
(78)
Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от s, и :
r
n
Y
S
n
=
(n+)!
22n!!
i(
–
)
x
x
z
n-
–
(n-)(n--1)
4(+1)
z
n--2
+…
,
(79)
мы видим, что после выполнения дифференцирований по z все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (n-)!.
Продолжая дифференцирование по и , мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель -2i!, так что окончательный результат имеет вид
Y
S
n
^2
ds
=
8a^2
2n+1
(n+)!(n-)!
22n!n!
.
(80)
Правую часть этого уравнения мы сокращённо обозначим через [n,].
Это соотношение справедливо для всех значений от 1 до n включительно, но при =0 нет гармоники с sin .
Таким же способом можно показать, что
Y
C
n
^2
ds
=
8a^2
2n+1
(n+)!(n-)!
22n!n!
(81)
для всех значений от 1 до n включительно.
При =0 гармоника становится зональной гармоникой и
Y
C
n
^2
ds
=
(P
n
)^2
ds
=
4a^2
2n+1
,
(82)
что можно получить прямо из уравнения (50), положив Yn=Pm и учтя, что значение зональной гармоники в её полюсе равно единице.