Трактат об электричестве и магнетизме

142 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положения точки на сфере. Действительно, пусть F - произвольная функция и A_n– коэффициент перед Y_n в разложении этой функции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда

FY

n

ds

=

A

_n

Y

n

^2

ds

=

A

n

[n,]

,

(83)

где [n,] - сокращённое обозначение значения поверхностного интеграла, даваемого равенством (80).

142 б. Пусть - произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса a от точки O, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке O.

Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке O радиусом, меньшим a, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на r/a в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция.

Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы.

Предположим, например, что в разложении есть член вида

A

C

n

Y

C

n

r

ⁿ

.

Если к функции и её разложению применить операцию

d^n-

dz^n-

d

d

+

d

d

и положить после дифференцирования x, y, z равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего

A

C

n

Перейдя в операторе, применяемом к функции к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство

d^n-

dz^n-

d

dx

–

(-1)

1·2

d^{– 2}

dx^{– 2}

d^2

dy^2

+…

=

=

A

C

n

(n+)!(n-)!

2n!

,

(84)

позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от по x, y, z в начале координат.

143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, лёгким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвёртого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис. VI-IX в конце этого тома).

На рис. VI показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120° в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с =1 и осью, перпендикулярной рисунку.

На рис. VII также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90°, и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы. Одна из узловых линий - большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами.

На рис. VIII показана разность двух зональных гармоник четвёртого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате получается тессеральная гармоника с n=4, =2.

На рис. IX показана сумма этих же гармоник. Результат даёт представление об одном из типов гармоник четвёртого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.

На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности.

Я построил также на рис. V плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка.

Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями, а силовые линии - прямые, параллельные оси, причём их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределён наиболее простым образом.

144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом.

Указанными выше методами разложим заданный потенциал в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы.

Пусть A_nrⁿY_n– одна из этих гармоник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член -A_nrⁿY_n, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4 должно входить слагаемое 4_n=(2n+1)aⁿA_nY_n.

Таким образом, мы можем определить коэффициенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой. Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда e сферы и даётся соотношением 4₀=a^{– 2}e.

Потенциал сферы равен V=₀+(e/a).

144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземлённых проводников и известна Функция Грина G от координат любых двух точек x, y, z и x', y', z' в области, куда помещена сфера.