Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через U. Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объёма проводника
U
=
B
0
+
B
1
rY'
1
+
B
2
r
2
Y'
2
+…+
B
n
r
n
Y'
n
+…
.
(12)
Штрихи
Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен
V
=
A
0
1
r
–
B
1
a3
r2
Y'
1
– …-
B
n
a2n+1
rn+1
Y'
n
– …
.
(13)
Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен V+W где
W
=
C
1
1
r2
Y''
2
+…+
C
m
1
rm+1
Y''
m
+…
.
(14)
Гармоники с двумя штрихами отличаются от гармоник входящих как в F, так и в U, а коэффициенты C малы, поскольку F мало.
Потенциалы должны удовлетворять условию, что при r=a(1+F) сумма
U+V+W
=
const
=
A0
a
+
B
0
равна потенциалу проводника.
Выражая степени r через a и F, сохраняя первую степень F, умноженную на A или B, и пренебрегая произведениями F, на малые величины C, получим
F
– A
0
1
a
+
3B
1
aY'
1
+
5B
2
a
2
Y'
2
+…+
(2d+1)
B
n
a
n
Y'
n
+…
+
+
C
1
1
r2
Y''
2
+…+
C
m
1
rm+1
Y''
m
+…
=
0.
(15)
Чтобы
найти коэффициенты C нужно выполнить умножение в первой строчке и выразить результат через сферические гармоники. Тогда этот ряд, взятый с обратным знаком, и будем рядом для W на поверхности проводника.Произведение двух поверхностных сферических гармоник порядка n и m является рациональной функцией степени n+m по x/r, y/r, z/r и, следовательно, может быть разложено в ряд по сферическим гармоникам степени не выше n+m. Поэтому, если F может быть разложено по сферическим гармоникам степени не выше m, а потенциал внешних сил может быть разложен по сферическим гармоникам степени не выше n, то потенциал, создаваемый поверхностными зарядами, будет содержать сферические гармоники степени не выше m+n.
Соответствующая поверхностная плотность заряда может быть затем найдена по потенциалу из приближённого равенства
4
+
d
dr
(U+V+W)
=
0.
(16)
145 в. Почти сферический проводник в почти сферическом и почти концентрическом проводящем сосуде.
Пусть уравнение поверхности проводника
r
=
a(1+F)
,
(17)
где
F
=
f
1
Y
1
+…+
f
n
Y
n
,
(18)
а уравнение внутренней поверхности сосуда
r
=
b(1+G)
,
(19)
где
G
=
g
1
Y
1
+
g
n
Y
n
.
(20)
Здесь коэффициенты f и g малы по сравнению с единицей, а Yn– поверхностные гармоники порядка n типа .
Пусть потенциал проводника равен , а потенциал сосуда . Представим потенциал в произвольной точке между проводником и сосудом в виде разложения по сферическим гармоникам
=
h
1
+
h
1
Y
1
r
+…+
h
n
Y
n
r
n
+…+
+
k
0
1
r
+
k
1
Y
1
1
r2
+…+
k
n
Y
n
1
rn+1
+…
.
(21)
Нужно определить постоянные h и k из условия, что = при r=a(1+F) и = при r=b(1+G).