Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Из предыдущего рассмотрения ясно, что все коэффициенты h и k кроме h0 и k0, малы, так что их произведениями на F можно пренебречь. Поэтому можно написать
=
h
0
+
k
0
1
a
(1-F)
+…+
h
n
a
n
+
k
n
1
an+1
Y
n
+…
,
(22)
=
h
0
+
k
0
1
b
(1-G)
+…+
h
n
b
n
+
k
n
1
bn+1
Y
n
+…
.
(23)
Отсюда
=
h
0
+
k
0
1
a
,
(24)
=
h
0
+
k
0
1
b
,
(25)
k
0
1
a
f
n
=
h
n
a
n
+
k
n
1
an+1
,
(26)
k
0
1
b
g
n
=
h
n
b
n
+
k
n
1
bn+1
,
(27)
откуда получаем заряд внутреннего проводника
k
0
=
(-)
ab
b-a
(28)
и значения коэффициентов гармоник порядка n
h
n
=
k
0
b
n
g
n - a
n
f
n
b2n+1– a2n+1
,
(29)
k
n
=
k
0
a
n
b
n
b
n+1
f
n - a
n+1
g
n
b2n+1– a2n+1
,
(30)
Следует при этом помнить, что коэффициенты fn, gn, hn, kn относятся к одному и тому же порядку и к одному и тому же типу.
Поверхностная плотность заряда на внутреннем проводнике даётся соотношением
4a
2
=
k
0
(1
+…+
A
n
Y
n
+…)
,
где
A
n
=
f
n { (n+2) a2n+1 + (n-1) b2n+1 } - g
n (2n+1) an+1 bn
b2n+1– a2n+1
(31)
146.
В качестве примера применения зональных гармоник рассмотрим равновесие электричества на двух сферических проводниках.Пусть a и b - радиусы сфер, а c - расстояние между их центрами. Для кратности мы положим a=cx, b=cy так что x и y - числа, меньшие единицы.
Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось зональных гармоник, и пусть полюсом зональных гармоник, относящихся к каждой сфере, служит точка этой сферы, наиболее близкая к другой сфере.
Обозначим через r расстояние произвольной точки до центра первой сферы, а через s - расстояние той же точки от центра второй сферы.
Пусть поверхностная плотность заряда 1 для первой сферы даётся выражением
4
1
a
2
=
A
+
A
1
P
1
+
3A
2
P
2
+…+
(2m+1)
A
m
P
m
,
(1)
так что A - полный заряд сферы, а A1 и т. д.- коэффициенты зональных гармоник P1 и т. д.
Потенциал такого распределения заряда можно представить в виде
U'
=
1
a
A
+
A
1
P
1
r
a
+
A
2
P
2
r^2
a^2
+…+
A
m
P
m
rm
am
(2)
для точек внутри сферы и
U
=
1
r
A
+
A
1
P
1
a
r
+
A
2
P
2
a^2
r^2
+…+
A
m
P
m
am
rm
(3)
для точек вне сферы.
Подобным образом, если поверхностная плотность заряда на второй сфере даётся выражением
4
2
b
2
=
B
+
B
1
P
1
+…+
(2n+1)
B
n