Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
a
n1+1
D
n
G
<
n
1
!
a
b
n1+1
.
Следовательно, при b много большем радиуса сферы a, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше A0. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (a/b)2n+n1+1. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении
Распределение электричества на почти сферическом проводнике
145 а. Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид
r=a(1+F)
,
(1)
где F - функция от направления a, т.е. от и квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании.
Представим F в виде ряда по поверхностным гармоникам
F
=
f
0
+
f
1
Y
1
+
f
2
Y
2
+…+
f
n
Y
n
.
(2)
Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от a Если предположить, что a равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объёма, что и заданный проводник, то коэффициент f0 обратится в нуль.
Второе слагаемое, с коэффициентом f1, зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом координат. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент f1 тоже обратится в нуль.
Предположим сначала, что на проводник с зарядом A0 не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид
V
=
A
0
1
r
+
A
1
Y'
1
1
r2
+…+
A
n
Y'
n
1
rn+1
+…
.
(3)
Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в разложении F.
На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е. постоянной величине a. Поэтому, выражая степени r через a и F и пренебрегая квадратами и высшими степенями F, мы получим
=
A
0
1
a
(1-F)
+
A
1
1
a2
Y'
1
(1-2F)
+…+
+
A
n
1
an+1
Y'
n
(1-(n-1)F)
+…+
(4)
Поскольку коэффициенты A1 и т. д., очевидно, много меньше A0, мы можем для начала пренебречь произведениями этих коэффициентов на F.
Если теперь подставить вместо F в первом члене (4) его
разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникам одинакового порядка, мы получим=
A
0
/a
,
(5)
A
1
Y'
1
=
A
0
af
1
Y
1
=
0,
(6)
. . . . . . . . .
A
d
Y'
d
=
A
0
a
d
f
d
Y
d
.
(7)
Из этих уравнений следует, что функции Y должны быть того же типа, что и Y' и, следовательно, совпадать с ними, и что A1=0 и Ad=A0anfn.
Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можно воспользоваться уравнением
4
=
–
dV
d
=
–
dV
dr
cos (приближённо).
(8)
Здесь - нормаль, а - угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовании мы считаем F и его первые производные по и малыми, мы можем считать cos =1, так что
4
=
–
dV
dr
=
A
0
1
r2
+…+
(n+1)
A
n
Y
n
2
rn+2
+…
.
(9)
Выражая степени r через a и F и пренебрегая произведениями F на An, получим
4
=
A
0
1
a2
(1-2F)
+…+
(a+1)
A
n
1
an+2
Y
n
.
(10)
Разлагая F по сферическим гармоникам и подставляя найденные значения An, получим
4
=
A
0
1
a2
[
1
+
f
2
Y
2
+
2f
3
Y
3
+…+
(n-1)
f
n
Y
n
]
.
(11)
Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка n то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в n-1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме.