Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
P
n
,
(4)
то обусловленный ею потенциал вне и внутри этой сферы представляется в виде
V'
=
1
b
B
+
B
1
P
1
s
b
+…+
B
n
P
n
sn
bn
,
(5)
V
=
1
s
B
+
B
1
P
1
b
s
+…+
B
n
P
n
bn
sn
,
(6)
где
Заряды на сферах равны соответственно A и B.
Потенциал в каждой точке внутри первой сферы постоянен и равен потенциалу этой сферы так что внутри сферы
U'+V
=
.
(7)
Точно так же, если потенциал второй сферы равен то для точек внутри этой сферы
U+V'
=
.
(8)
Для точек вне обеих сфер потенциал равен , где
U+V
=
.
(9)
На оси между центрами сфер
r+s
=
c.
(10)
Отсюда, дифференцируя по r полагая после дифференцирования r=0 и учитывая, что в полюсе каждая зональная гармоника равна единице, получим
A
1
1
a2
–
dV
ds
=
0,
A
2
2!
a3
–
d2V
d2s
=
0,
…,
A
m
m!
am+1
+
(-1)
m
dmV
dms
=
0,
(11)
где после дифференцирования s следует положить равным c.
Если выполнить дифференцирование и положить a/c=x и b/c=x, то уравнения примут вид
0
=
A
1
+
Bx
2
+
2B
1
x
2
y
+
3B
2
x
2
y
2
+…+
(n+1)
B
n
x
2
y
n
,
0
=
A
2
+
Bx
3
+
3B
1
x
3
y
+
6B
2
x
3
y
2
+…+
+
1
2
(n+1)
(n+2)
B
n
x
3
y
n
,
.................
0
=
A
m
+
Bx
m+1
+
(m+1)
B
1
x
m+1
y
+
+
1
2
(m+1)(m+2)
B
2
x
m+1
y
2
+…+
(m+n)!
m!n!
B
n
x
m+1
y
n
.
(12)
Соответствующие
выкладки для другой сферы дают0
=
B
1
+
Ay
2
+
2A
1
xy
2
+
3A
2
x
2
y
2
+…+
(m+1)
A
m
x
m
y
2
,
0
=
A
2
+
Ay
3
+
3A
1
xy
3
+
6A
2
x
2
y
3
+…+
+
1
2
(m+1)
(m+2)
A
m
x
n
y
3
,
.................
0
=
B
n
+
Ay
n+1
+
(n+1)
A
1
xy
n+1
+
+
1
2
(n+1)(n+2)
A
2
x
2
y
n+1
+…+
(m+n)!
m!n!
A
m
x
m
y
n+1
.
(13)
Для нахождения потенциалов и обеих сфер у нас имеются уравнения (7) и (8), которые мы можем теперь записать в виде
c
=
A
1
x
+
B
+
B
1
y
+
B
2
y
2
+…+
B
n
y
n
,
(14)
c
=
B
1
y