Логика и рост научного знания

через три

сечение

мерным множеством (подобно множеству прямых ли-

данные

данные

через три

точки

точки

данные

ний). Если же мы потребуем, чтобы все окружности

точки

проходили через две данные точки, то мы получим одно-

мерное множество, и т. д. Каждое дополнительное

точку(или некоторую очень маленькую область), часто

условие, требующее, чтобы все кривые некоторого мно-

будет связываться или ставиться в соответствие с при*

жества проходили еще через одну данную точку, сни-

нятием некоторого сингулярного высказывания,то есть

жает размерность данного множества на единицу.

начального условия. Вместе с тем переход, скажем, от

Размерность можно также редуцировать и другими

гипотезы эллипса к гипотезе окружности, очевидно, методами, отличными от увеличения числа данных то-

будет соответствовать редукции размерности самой тео-

чек. Так, например, множество эллипсов с данным со-

рии.Как же можно разграничить эти два метода редук-

отношением их осей является четырехмерным (как и

ции размерности? Мы можем назвать «материальной

множество парабол), и таким же является множество

редукцией»метод редукции размерности, который не

эллипсов с данным численным эксцентриситетом. Пере-

имеет дела с допущениями, касающимися «формы» или

ход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен

«вида» кривой, то есть, к примеру, редукции при помо-

спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом

щи точного определения одной или более точек или

случае равен 0) или принятию особого соотношения

при помощи какой-либо эквивалентной спецификации.

осей (равного 1).

Другой метод, при котором форма или вид кривой

Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней

становятся более точно определенными, как, например, фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим во-

когда мы переходим от эллипса к окружности или от

прос о том, эквивалентны ли для наших целей различ-

окружности к прямой линии и т. д., я назову методом

ные методы редукции размерности или нам следует

«формальной редукции»размерности.

более тщательно исследовать их относительные до-

стоинства. Действительно, допущение о том, что кри-

вая должна проходить через определенную сингулярную

22 Мы могли бы, конечно, начат ь с пустого минус-одномерного

класса.

174

175

Однако это различение нелегко сделать достаточно

ной, системе координат. Следовательно, такая редукция

точным. В этом можно убедиться следующим образом.

связана с индивидуальными именами23.

Редукция размерности на языке алгебры означает за-

Можно построить некоторую иерархию подобных

мену некоторого параметра константой. Однако не

преобразований. Определение, инвариантное но отно-

очень ясно, каким образом мы можем различить раз-

шению к более общей группе преобразований, являет-

ные методы замены параметра константой. Формальная

ся также инвариантным и по отношению к бlb>лее част-

редукция,заключающаяся в переходе от общего урав-

ным группам. Для каждого определения множества

нения эллипса к уравнению окружности, может быть

кривых существует одна наиболее общая группа пре-

описана как приравнивание одного параметра к 0, а

образований, которая является характерной для этого

второго — к 1. Однако если второй параметр (абсолют-

множества. Теперь мы можем сказать: определение

ный термин) приравнивается к 0, то это означало бы

Di множества кривых называется «равным по общности»

материальную редукцию,а именно спецификацию неко-

(или более общим по отношению к) определению D2

торой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это

множества кривых, если оно инвариантно по отношению

различение можно сделать ясным, если мы установим

к той же самой группе преобразований, что и D2 (или

его связь с проблемой универсальных имен. Дело в

по отношению к более общей группе). Редукцию раз-

том, что материальная редукция вводит индивидуальное

мерности множества кривых теперь можно назвать

имя, а формальная — универсальное имя в определение

формальной,если она не уменьшает общности опреде-

соответствующего множества кривых.

ления; в противном случае она является материальной.

Давайте представим, что нам дана некоторая кон-

Если мы сравним степени фальсифицируемости двух

кретная плоскость, возможно, при помощи «остенсив-

теорий при помощи рассмотрения их размерности, то

ного определения». Множество всех эллипсов на этой

нам наряду с размерностью, без сомнения, придется

плоскости можно определить при помощи общего урав-

принимать в расчет и их общность,то есть их инва-

нения эллипса, множество окружностей — при помощи

риантность по отношению к преобразованиям коор-

общего уравнения окружности. Эти определения не за-

динат.

висят от того, в каком местена плоскости мы проводим

Такая процедура, конечно, должна считаться с тем, (декартовы) координаты,к которым относятся эти

содержит ли фактически рассматриваемая теория гео-

определения. Следовательно, они не зависят от выбора