Логика и рост научного знания

Аналогичным образом функция синуса,по общему мне-

дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-

нию, является простой, хотя геометрический образ си-

.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-

нусоиды,возможно, не является столь простым.

визной.

Трудности такого рода можно устранить, если мы

На первый взгляд кажется, что используемое при

вспомним о связи между числом параметров и сте-

таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-

пенью фальсифицируемости и проведем различение

чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-

между формальной и материальной редукциями раз-

ко если высказывания о простоте различных геометрий

мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли

сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-

инвариантности по отношению к преобразованиям си-

ружится, что два интересующих нас понятия — простота

стем координат.) Когда речь идет о геометрической

и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

– .форме или об образенекоторой кривой, мы требуем от

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам

нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-

помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-

ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-

ре необходимо использовать некоторую метрическую

жем также потребовать при этом инвариантности по

геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».

отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-

Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, но предполагается, что геометрическая форма или гео-

если мы отождествим некоторые геометрические сущ-

метрический образ не связаны с определенным местом

ности с определенными физическими объектами, на-

на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем

пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —

форму однопараметрической логарифмической кривой

с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-

(y = logax),не связывая ее с определенным местом на

дествление (то есть соотносящее определение или, воз-

плоскости, то такая кривая будет зависеть от пятипа-

можно, некоторое остенсивное определение — см. разд.

раметров (если допустить преобразования подобия).

17), то можно показать, что гипотеза о справедливости

Таким образом, она ни в коем случае не является весь-

евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируе-

ма простой кривой. Если же некоторая логарифмическая

ма в большей степени, чем любая другая конкурирую-

кривая представляет теорию или закон,то указанные

щая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой

преобразования координат не имеют значения. В таких

неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы из-

случаях использование вращений, параллельных пере-

мерим сумму углов светового треугольника, то любое

носов и преобразований подобия не имеет смысла, так

значительное отклонение от 180 градусов фальсифици-

жак логарифмическая кривая здесь, как правило, яв-

рует евклидову гипотезу. В то же время гипотеза о

188

189

нятия простоты. Странно, что сами конвенционалисты

справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с

не заметили конвенционального характера самого фун-

данной кривизной будет совместима с любым конкрет-

даментального для них понятия — понятия простоты.

ным измерением, результат которого не превосходит

Да они и не могли заметить его, так как в противном

180 градусов. К тому же для фальсификации второй

случае им пришлось бы признать то, что никакая апел-

гипотезы необходимо измерить не только сумму углов, ляция к простоте не может спасти от произвольности

но также и (абсолютный) размер треугольника, а это

того, кто однажды вступил на путь принятая произ-

означает, что в придачу к углам потребовалось бы

вольных конвенций.

ввести новую единицу измерения, такую, например, как

С моей точки зрения, некоторую систему следует

единицу площади. Таким образом, мы видим, что для

считать в высшей степени сложной,если в соответствии

фальсификации второй гипотезы требуется большее

с практикой конвенционалистов, мы, безусловно, при-

число измерений, что данная гипотеза совместима с

нимаем ее в качестве раз и навсегда установленной

большими отклонениями в результатах измерений и

системы, которую, как только она оказывается в опас-

что, следовательно, эту гипотезу труднее фальсифици-

ности, следует спасать при помощи введения дополни-

ровать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируе-

тельных гипотез. Дело в том, что степень фальсифици-

ма в меньшей степени. То же самое можно выразить, руемости охраняемой таким образом системы равна

сказав, что евклидова геометрия является единственной

нулю. Итак, наше понятие простоты вновь привело нас

метрической геометрией с определенной кривизной, в

к методологическим правилам, сформулированным в

которой возможны преобразования подобия. Как след-

разд. 20, и в частности к правилу или принципу, кото-

ствие этого, фигуры евклидовой геометрии могут быть